Die rumliche und zeitliche Ausbreitung der Gravitation.

Von

PAUL GERBER

in Stargard in Pommern, 1898.

1. Das Grundgesetz.

Die Gravitationserscheinungen zeigen die einzigen an getrennten Krpern bestehenden Wirkungen, fr die man noch keinen Anteil des zwischenliegenden Raumes, d. h. kein Vorhandensein sich von Ort zu Ort mitteilender Vernderungen in ihm nachweisen kann. Um so begreiflicher ist die Hoffnung, dass es schliesslich einmal gelingen werde, den fehlenden Nachweis zu fhren. Nur darf man die Sache nicht so betrachten, wie wenn an der Scheinbarkeit jener Ausnahme nicht zu zweifeln sei. Alle bekannten und verstandenen Beobachtungen drngen vielmehr zum Gegenteil. Es muss daher, falls dies dennoch bloss auf mangelnder Erfahrung oder unvollstndiger Analyse beruht, erst dargethan werden, dass es Thatsachen giebt, die unsere bisherige Auffassung nach entgegengesetzter Seite berichtigen und ergnzen. Dazu ist es vor allem ntig, jede Hypothese fern zu halten, die mehr annimmt, als dass in dem Rume zwischen zwei gravitierenden Massen etwas geschehe, das teil an der Gravitation hat. Wegen frherer hnlicher, doch unzureichender Behandlungen der hier errterten Frage sei auf das der 69. Naturforscherversammlung erstattete Referat ber Fernwirkungen von Drude verwiesen.

Zwei gravitierende Massen geben sich als solche durch den Widerstand zu erkennen, den sie einer Vergrsserung ihres Abstandes entgegensetzen. Damit mssen also, whrend sie selbst in Ruhe oder in Bewegung sein knnen, die etwa vorhandenen Vorgnge in dem Rume zwischen ihnen zusammenhngen. Offenbar ist mit der Lage oder mit ihr und dem momentanen Bewegungszustande der Massen, soweit ussere Einflsse ausgeschlossen sind, nicht nur der eine, rtliche Widerstand, sondern auch die Reihe aller bis ins Unendliche folgenden Widerstnde bestimmt. Die zu ihrer berwindung notwendige Arbeit ist also ebenso wie der einzelne Widerstand selbst eine die Gravitation

charakterisierende Gre. Bloss sie kann hier, wo es darauf ankommt, ob mit der Gravitation sich im Rume unter Zeitverlust ausbreitende Vernderungen verbunden sind, als Grundgrsse angesehen werden. Denn es hat dem Begriffe nach keinen Sinn, von der rumlichen Fortpflanzung des Widerstandes oder der Anziehung zu reden, da Widerstand und Anziehung als solche nur an den Orten vorhanden sind, wo sich die Massen befinden. Aber wenn von einem Vorgange ausgesagt wird, er brauche Zeit, um von einem nach einem anderen Ort zu gelangen, so heisst dies, er hrt an dem ersten Orte zu existieren auf, ohne in demselben Augenblick sogleich an dem zweiten Orte zu sein; daher wrde die in dem Vorgange enthaltene Energie zeitweise verschwinden, wenn sie nicht durch die zwischen den beiden Orten gelegenen Punkte hindurchginge. Sie ist gleich der genannten Arbeit, sobald der Vorgang zur Gravitation zweier in den Orten befindlichen Massen gehrt, da er dann ebenfalls von deren Lage und momentanem Bewegungszustande abhngt und diese nicht zwei verschiedene Energiegrssen bedingen knnen.

Nun werde, indem zur Unterscheidung die eine Masse die anziehende, die andere die angezogene heisse, unter dem Potential V der anziehenden Masse auf die angezogene m der auf die Einheit der zweiten Masse entfallende Teil der Arbeit verstanden, die zu leisten ist, damit sich die Massen bis ins Unendliche von einander entfernen, die mithin insgesamt Vm betrage. Fr den Punkt, in dem sich die festgehalten gedachte Masse m befindet, und dessen Koordinaten, bezogen auf die ebenfalls festgehaltene anziehende Masse, x, y, z seien, kann man nach der in M a c h s Prinzipien der Wrmelehre beschriebenen Methode V berechnen, indem man es gleich dem Mittelwert aller in nchster Umgebung des Punktes herrschenden Potentiale setzt. V ist ja keine gerichtete Grosse und fr eine gegebene Lage unvernderlich in der Zeit. Es sei in m gleich f(x, y, z} und fr einen Nachbarpunkt gleich

Ferner bedeute

das Gewicht des Nachbarpunktes im Mittelwert, das bei Nahwirkungen mit wachsender Entfernung schnell abnimmt. Dann findet man

Entwickelt man f nach der Taylor sehen Reihe bis zur zweiten Potenz, und integriert man um den Punkt x, y, z herum, so wird

setzt,

also

Aus dieser Gleichung folgt auf bekannte Weise, wenn /u eine Konstante bezeichnet und r der Abstand der Massen ist,

Hieraus ergiebt sich das N e w t o n sehe Gravitationsgesetz. Denn

V = gilt auch noch in dem Augenblick, da man die Massen r

loslsst. Die Zunahme von Vm stimmt mit der erscheinenden lebendigen Kraft dT berein, und darum enthlt T in jenem Augenblick ebenso wenig wie V die nderung von r in der Zeit. Folglich hat man nach den allgemeinen Lagrange sehen Bewegungsgleichungen, indem man an Stelle der usseren auf die Masse m wirkenden Kraft den negativen Wert der von ihr ausgebten Kraft setzt, fr die Beschleunigung von m

Das Newton sehe Gesetz schreibt die Potentiale vor, die die Massen in jeder Lage erreichen, wenn ihnen die zu deren Zustandekommen erforderliche Zeit zur Verfgung steht. Diese Bedingung ist immer erfllt, sobald die Massen in ihrer gegenseitigen Entfernung festgehalten werden. Sie hrt auf bei eingetretener freier, einander entgegen gerichteter Bewegung, falls jene Zeit eine endlich bemessene Grosse hat. Zwei Umstnde sind dabei von Einfluss. Erstens muss

zwar im Abstnde r - Ar der Massen, wo Ar bei wachsendem r positiv, bei abnehmendem negativ ist, das Potential sich in der im umgekehrten Verhltnis zu r - Ar stehenden Grosse zu bilden anfangen, weil sonst nicht einzusehen wre, wie sich dieses Verhltnis bei der Ruhe der Massen zu erfllen vermchte. Aber es gelangt nicht sogleich zur Wirkung an m, da der es bedingende Vorgang von der anziehenden Masse ausgeht und Zeit braucht, um bis zur angezogenen Masse fortzuschreiten. Selbstverstndlich findet ein Fortschreiten der gedachten Art auch von der angezogenen zur anziehenden Masse statt, hnlich wie zu jeder Wrmeausstrahlung zwischen zwei Krpern eine Gegenstrahlung gehrt. Das bei dem Abstnde r - Ar von der anziehenden Masse ausgehende Potential bethtigt sich also in m erst zu einer um A t spteren Zeit, nachdem der Abstand gleich r geworden ist. Zweitens wrde das Potential wohl bei Fernwirkung unmittelbar in seinem vollen Betrage erscheinen; sind jedoch Raum und Zeit in der vorausgesetzten Art mit im Spiel, so hat es auch eine gewisse Dauer ntig, damit es, bei m angelangt, dieser Masse sich mitteile, d. h. den ihm entsprechenden Bewegungszustand von m hervorrufe. Denn nur die Annahme von Fernwirkungen lsst Unstetigkeit in den Erscheinungen zu; ihre Ersetzung durch die Annahme von Nahwirkungen hat vor allem den Zweck, die sich an den brigen physikalischen und chemischen Vernderungen bewhrende Stetigkeit auch in die Auffassung der Gravitation einzufhren. Wie sich daher beim Stosse die Stosskraft aus succ. Elementarstssen zusammensetzt, so geschieht die bertragung des als Potential anlangenden Vorganges auf m durch schnell aufeinander folgende Differentialpotentiale. Wenn die Massen ruhen, geht die Bewegung des Potentials mit ihrer eigenen Geschwindigkeit an m vorber; dann bemisst sich sein auf m bertragener Wert nach dem umgekehrten Verhltnis zum Abstnde. Wenn die Massen aufeinander zueilen, verringert sich die Zeit der bertragung, mithin der bertragene Potentialwert im Verhltnis der eigenen Geschwindigkeit des Potentials zu der aus ihr und der Geschwindigkeit der Massen bestehenden Summe, da das Potential in Bezug auf m diese Gesamtgeschwindigkeit hat.

Das Potential bewegt sich ausser mit seiner Geschwindigkeit c noch mit der Geschwindigkeit der anziehenden Masse, von der es ausgeht. Der Weg r Δr, den die beiden sich entgegenkommenden Bewegungen, die des Potentials und die der angezogenen Masse, in der Zeit A t zurcklegen, betrgt daher

whrend r = c Ar ist. Also erhlt man fr den Abstand, bei dem sich das Potential zu bilden anfngt, und dem es umgekehrt proportional ist,

Weil ferner die Geschwindigkeit, mit der die Bewegungen an einander vorbeigehen, den Wert

hat, fällt das Potential wegen des Zeitverbrauches zu seiner Mitteilung an m auch proportional

aus. Man findet so

Solange der Weg dr kurz und deshalb dr/dt gegen c klein ist, darf

man dafr dr/dt setzen. Dadurch wird

woraus mit Hülfe des binomschen Satzes bis zur zweiten Potenz folgt

Hier ist in dem Ausdruck fr V nicht bloss r, sondern auch die Ableitung von r nach der Zeit enthalten. Darum ergiebt sich vermge der allgemeinen Lagrange sehen Bewegungsgleichungen fr die

Beschleunigung von m, wenn dr/dt mit r' bezeichnet wird,

Die Annahme, dass dr/dt im Vergleich mit c klein ist, trifft im Gebiet der gewhnlichen Gravitationserscheinungen zu; sonst knnte das Newton sehe Gesetz sich nicht an bewegten Massen in dem Mae bewahrheiten, wie es dies thut. Aber unter besonderen Bedingungen, z. B. durch eine den Massen von aussen erteilte Anfangsgeschwindigkeit, kann dr/dt so gross werden, dass weder dr/dt ihm gleich gesetzt werden darf, noch die Entwickelung der binomischen Reihe bis zur zweiten Potenz gengt. Die abgeleitete Formel hat daher nur Gltigkeit, wenn die gravitierenden Massen ein freies, nach aussen hin unabhngiges System bilden. In diesem, brigens vor der Hand wichtigsten Falle bestimmt sie die Vernderung, die das Newton sehe Gesetz dadurch erleidet, dass sich die Potentiale zwischen den Massen nicht momentan, sondern mit Zeitverlust ausbreiten.

2. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit.

Je nachdem die Beobachtungen fr die in die vorige Rechnung eingefhrte Grosse c einen endlichen oder einen unendlich grossen Wert liefern, findet man mehr oder weniger sicher, dass die Potentiale gravitierender Massen Zeit brauchen, um die zwischen diesen liegenden Abstnde zu durchschreiten, oder dass eine solche zeitliche Ausbreitung nicht existiert, mithin die Gravitation auf wahrer Fernwirkung beruht. Besonders bedarf es der Erfllung zweier Forderungen. Erstens sind wegen des bergewichtes von c ber dr/dt

die c enthaltenden Glieder des Ausdruckes fr die Beschleunigung der Masse m von dem ganzen Ausdrucke abzusondern und mit den Thatsachen vergleichbar zu machen; zweitens ist die Grssenart zu ermitteln, durch die das Vorhandensein eines endlichen Wertes von c zu erkennen sein muss, und daraufhin dann die Erfahrung zu prfen. Da der Schauplatz der Thatsachen nur das Planetensystem sein kann, stelle man sich als die anziehende Masse die Sonne, als die angezogene einen Planeten vor. Zur Vereinfachung werde dessen Bewegung auf die Sonne als Anfangspunkt der Koordinaten bezogen, sodass die Konstante mu im Verhltnis der Summe der Massen zur anziehenden

Masse vergrssert gedacht werden muss. Man setze

Also ist

woraus durch Multiplikation der einen Gleichung mit y und der anderen mit x und durch Subtraktion folgt

Dies ist die auch bei der Ableitung der Eigenschaften und der Bahn der Planetenbewegung aus dem Newton sehen Gesetze entstehende Gleichung, die durch Integration und Einfhrung von Polarkoordinaten, wenn ft der Winkel zwischen dem Radiusvektor und der positiven Abscissenaxe ist und L eine Konstante bedeutet, ergiebt

ferner

in die Gleichungen fr

ein, so lauten diese

Mit den Konstanten M und N wird durch Integration


ist, findet man aus den beiden letzten Gleichungen


Die Integrale im Nenner nehmen nach und nach andere und andere Werte an, falls F nicht verschwindet. Setzt man voraus, man wisse ihren Wert zu einer bestimmten Zeit, so kann man sagen, dass der Planet sich zu dieser Zeit auf einer durch jene Gleichung beschriebenen Ellipse befinde. Ist deren halbe grosse Axe a, ihre halbe kleine Axe b, die numerische Exzentricitt e und der Winkel von a mit der positiven Abscissenaxe co, und lst man die Gleichungen fr

und r = b2/a nach

auf, so erhlt man

Man sieht, indem man die Unvernderlichkeit vonbeachtet, dass sich die Bewegung des Planeten so deuten lsst, wie wenn er auf einer Ellipse einhergehe, deren e und o) sich stetig verndern. Nur fr den Fall, dass F = 0 ist, hrt diese Vernderung auf. Sie ist es also, wodurch das Vorhandensein eines endlichen Wertes von c in Wirkung kommt. Man erhlt fr F, sobald man die beiden letzten Gleichungen nach & differenziert, den Wert von L einsetzt und die eine durch

die andere durch

dividiert,

Durch Gleichsetzung beider Ausdrcke ergiebt sich mit

woraus rückwärts folgt

Um mittelst dieses Wertes eine nur Beobachtungsgrssen

enthaltende Gleichung fr zu gewinnen, stelle man F durch die

Ableitungen von r nach t dar. Man hat, wieder mit Bercksichtigung

der Unvernderlichkeit von ausserdem mit Benutzung der Formeln

Daher lautet die gesuchte Gleichung fr

oder nach Einsetzung von

und nach Division durch

Wenn man den so berechneten Wert der Geschwindigkeit mit den Beobachtungen vergleichen will, hat man zu bercksichtigen, dass die Rechnung nur einen einzigen Planeten voraussetzt. Daher knnen allein Perihelbewegungen in Betracht kommen, die nicht aus Strungen entstehen. Solche sindbloss beim Merkur bekannt, in einem Betrage von etwa 41" in einem Jahrhundert. Diese Kleinheit schliesst von vornherein jede erfahrungsmssige Feststellung der stetigen Vernderlichkeit von aus. Also ist ber eine lngere Zeit hin zu integrieren. In der letzten Gleichung kommt nur e, nicht auch de/dt vor; und sofern die nderungen von £ gegen £ selbst verschwinden, kann man dieses als konstant ansehen. Es gengt danach als Grenzen der Integration a = 0 und a = 2 n zu whlen, da bei jedem folgenden Umlauf die Werte des vorigen Umlaufes sehr annherungsweise wiederholt.

Man multipliziere die Gleichung fr mit dt und setze im zweiten und im dritten Gliede der rechten Seite

Durch passende Ordnung und Division ergiebt sich

Dividiert man Zähler und Nenner durch

ordnet man nach steigenden Potenzen von cos a, und setzt man zur

Abkrzung

so wird

Angenhert erhlt man

Fr die Perihelbewegung fy whrend eines Umlaufes ergiebt sich daher

oder, weil

Daraus folgt

Beachtet man, dass psi sehr klein ist, so sieht man, dass das zweite

Glied unter der Wurzel gegen das erste verschwindet. Der fr da) gewhlte Nherungsausdruck ist danach noch zu genau, d. h. w htte von vornherein vernachlssigt werden drfen. Mithin wird

wo aus demselben Grunde 2 gamma gegen 2 pi gamma/psi unbercksichtigt bleiben kann. Man erhlt daher schliesslich

Hierin ist

wenn r die Umlaufszeit des Planeten bedeutet. Speziell fr Merkur gelten folgende Werte:

a = 0,3871 149 106 km,

e = 0,2056,

t = 88 Tage,

psi = 4,789 10-7.

Man findet damit

c = 305500 km/sec.

Die kleinste bisher gefundene Geschwindigkeit des Lichtes hat F o u c a u 11 erhalten, gleich 298000 km/sec; die grsste ergiebt sich nach der Methode von Rmer aus den neuesten Beobachtungen zu 308000 km/sec; die Geschwindigkeit der elektrischen Wellen fand Hertz in seinen Versuchen 320000 km/sec. Also stimmtdie Geschwindigkeit, mit der sich das Gravitationspotential ausbreitet, mit der Geschwindigkeit des Lichtes und der elektrischen Wellen berein. Darin liegt zugleich die Brgschaft, dass diese Geschwindigkeit existiert.

Freilich wird niemand in Abrede stellen, dass die Perihelbewegung des Merkur von 41" in einem Jahrhundert auch durch andere, noch unbekannte Umstnde bedingt sein knnte, so dass es eine endliche Geschwindigkeit des Gravitationspotentials nicht zu geben brauchte. Man hat aber zu bedenken, dass die hier hauptschlich entscheidende, brigens auch die Abweichung von allen frheren Ergebnissen hnlicher Untersuchungen bedingende Formel fr die Abhngigkeit des Potentials von einer solchen Geschwindigkeit auf vllig naturmssigem, nicht erst durch schwierige Hypothesen fhrendem Wege gewonnen ist. Es wre daher ein sonderbarer Zufall, wenn die 41 Sekunden des Merkur gerade die Licht- und Elektrizittsgeschwindigkeit lieferten, ohne mit einer rumlich-zeitlichen Ausbreitung der Gravitation etwas zu thun zu haben, da doch das Medium, worin diese Ausbreitung und die Bewegung des Lichtes und der elektrischen Wellen erfolgen, derselbe zwischen den Weltkrpern sich erstreckende Raum ist. Nicht einmal die verhltnismssig grosse Perihelbewegung, die man mit dem gefundenen Werte von c fr die Venus erhlt, nmlich 8 " in einem Jahrhundert, kann als stichhaltiger Einwand gelten; oder eine Revision der Strungen dieses Planeten msste die Mglichkeit jener Zahl endgltig ausschliessen. Es sei daran erinnert, dass die Berechnungen der skularen Beschleunigung des Mondes zwischen 6" und 12" zu schwanken vermochten. Im brigen ergeben sich lauter unmerklich kleine Perihelbewegungen. Sie betragen nach den aus den gebruchlichen Tabellen leicht zu entnehmenden Beobachtungswerten bei der Erde in einem Jahrhundert 3 ",6, beim Monde 0 ",06, beim Mars 1",3, beim Jupiter 0",06, beim Saturn 0", 01, beim Uranus 0",002 und beim Neptun 0",0007.

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