оглавление   ДМ   экономическая информатика   визуальные среды - 4GL   Теория и практика обработки информации

Калибровка

© 2008 Алексей Померанцев

1. Базовые сведения
1.1. Постановка задачи 
1.2. Линейная и нелинейная калибровки
1.3. Калибровка и проверка
1.4. "Качество" калибровки
1.5. Неопределенность, точность и воспроизводимость
1.6. Недооценка и переоценка
1.7. Мультиколлинеарность
1.8. Подготовка данных
2. Модельные данные
2.1. Принцип линейности
2.2. "Чистые" спектры
2.3. "Стандартные" образцы 
2.4. Создание X данных
2.5. Центрирование данных 
2.6. Обзор данных
3. Классическая калибровка
3.1. Калибровка по одному каналу (однофакторная)
3.2. Метод Фирордта
3.3. Непрямая калибровка
4. Обратная калибровка
4.1. Множественная калибровка
4.2. Пошаговая калибровка
5. Калибровка на латентных переменных
5.1. Проекционные методы
5.2. Регрессия на латентных переменных
5.3. Практическое применение калибровки на латентных переменных
5.4. Регрессия на главные компоненты (PCR)
5.5. Регрессия на латентные структуры -1 (PLS1)
5.6. Регрессия на латентные структуры -2 (PLS2)
6. Заключение
6.1. Сравнение разных методов 
6.2. Выводы

В этом пособии рассмотрены основные методы, применяемые для решения задач калибровки (называемой также градуировкой). Текст ориентирован, прежде всего, на специалистов в области анализа экспериментальных данных: химиков, физиков, биологов, и т.д. Он может служить пособием для исследователей, начинающих изучение этого вопроса. Продолжить исследования  можно с помощью указанной литературы

В пособии интенсивно используются понятия и методы матричной алгебры – вектор, матрица, и т.п. Читателям, которые плохо знакомы с этим аппаратом, рекомендуется изучить, или, хотя бы просмотреть, пособие "Матрицы и векторы". 

Изложение иллюстрируется примерами, выполненными в рабочей книге Excel “Calibration.xls”, которая сопровождает этот документ. Предполагается, что читатель имеет базовые навыки работы в среде Excel, умеет проводить простейшие матричные вычисления с использованием функций листа, таких как МУМНОЖ, ТЕНДЕНЦИЯ  и т.п. Освежить эти знания можно с помощью пособия Матричные операции в Excel.

Важная информация о работе с файлом Calibration.xls 

Ссылки на примеры помещены в текст как объекты Excel. По форме эти примеры имеют абстрактный, модельный характер, однако, по своей сути, они тесно связаны с задачами, встречающимися на практике.

Базовые сведения

Постановка задачи

Суть задачи калибровки состоит в следующем. Пусть имеется некоторая переменная (свойство) y, величину которой необходимо установить. Однако, по ряду обстоятельств (недоступность, дороговизна, длительность), прямое измерение величины y невозможно. В то же время можно легко (быстро, дешево) измерить другие величины: x=(x1, x2, x3,…), которые связаны с искомой величиной y. Задача калибровки состоит в установлении количественной связи между переменными x и откликом y – 

y=f(x1, x2, x3,…| a1, a2, a3,…) +ε

На практике это означает: 

(1) подбор вида зависимости f, и ... 

(2) оценку неизвестных параметров a1, a2, a3,… в этой калибровочной зависимости. 

Разумеется, калибровку нельзя построить абсолютно точно. В дальнейшем мы увидим, что это не только невозможно, но и опасно. В калибровочной зависимости всегда присутствуют погрешности (ошибки) ε, источник которых – пробоотобор, измерения, моделирование, и т.д.

Простейший пример калибровки дает общеизвестный прибор, называемый безменом, т.е. пружинные весы. Искомая величина y – это вес образца, а x – это удлинение пружины весов. Закон Гука – 

y=ax + ε, 

связывает y и x через коэффициент жесткости пружины a, который априори неизвестен. Процедура калибровки очень проста – взвешиваем стандартный образец весом в 1 кг и отмечаем на шкале удлинение пружины, затем используем образец в 2 кг, и т.д. В результате этой калибровки (точнее, градуировки) получается шкала, по которой можно определить вес нового, нестандартного образца. 

Этот элементарный пример демонстрирует основные черты процедуры калибровки, которые подробно будут рассмотрены далее. Во-первых, для калибровки необходимы несколько стандартных образцов, для которых величины y известны заранее. Во-вторых, диапазон, в котором предполагается измерять показатель y, должен полностью покрываться этими калибровочными образцами. Действительно, нельзя измерять образцы весом более 5 кг, если в калибровке использовались образцы, весом менее чем 5 кг.

Разумеется, на практике все обстоит не так просто, как в этом элементарном примере. Например, в калибровке может участвовать не один показатель y (отклик), а несколько откликов y1, y2,..... yK, которые нас интересуют. Все возможные особенности, различные трудности, сопутствующие процедуре калибровке будут рассмотрены далее. Сейчас же мы подведем первые итоги и сформулируем задачу калибровки в общем виде.

Пусть имеется матрица Y, размерностью (I×K), где I – это число стандартных образцов (сравнения), использованных в калибровке, а K – это число одновременно калибруемых откликов. Матрица Y содержит значения откликов y, известные из независимых экспериментов (референтные или стандартные значения). Пусть, с другой стороны, имеется соответствующая матрица переменных X размерностью (I×J),  где I – это, естественно, тоже число образцов, а J – это число независимых переменных (каналов), используемых в калибровке. Матрица X состоит из альтернативных, как правило, многоканальных (J>>1) измерений. Используя калибровочные данные (X, Y), требуется построить функциональную связь между Y и X.

 

Рис. 1 Калибровочный набор данных

Итак, задача калибровки состоит в построении математической модели, связывающей блоки X и Y, с помощью которой можно в дальнейшем предсказывать значения показателей y1, y2,..... yK, по новой строке значений аналитического сигнала x.

1.2. Линейная и нелинейная калибровки

Теоретически функциональная связь между переменными x и y может быть сложной, например, 

y=b0 exp(b1x+b2x2) + ε

Однако на практике большинство используемых калибровок являются линейными, т.е. имеют вид – 

y=b0 + b1x1 + b2x2+...+ bJxJ + ε .

Заметим, что термин "линейность" употребляется в контексте этого пособия вместо более правильного термина "билинейность", означающего линейность как по отношению к переменным x, так и в отношении коэффициентов b. Поэтому, калибровка

y=b0 + b1x + b2x2 + ε .

является нелинейной, несмотря на то, что она легко "линеаризуется" введением новой переменной x2=x2.

Главное преимущество билинейной модели – это единственность, тогда как все прочие калибровки образуют бесконечное множество, выбор из которого затруднителен. В этом пособии рассматриваются только линейные калибровки вида –

Y = XB + E.

(1)

Читатели, заинтересованные в изучении нелинейных методов анализа данных могут обратиться к описанию программы Fitter

Предпочтение (би)линейных, формальных моделей, не отягощенных дополнительным физико-химическим смыслом, является магистральным направлением развития хемометрики. Такой подход позволяет исключить влияние субъективного фактора, проявляющегося при выборе калибровочной зависимости. Однако за это приходится расплачиваться – все линейные модели имеют ограниченную область применения.

Рис. 2 Линеаризация калибровки

Суть дела иллюстрирует Рис. 2, где показаны четыре участка, на которых сложная нелинейная зависимость приближается простыми линейными моделями. Каждая из этих моделей работает только на своей области переменной x и выход за ее границы приводит к грубым ошибкам. Принципиальным моментом здесь является то, какую область можно считать допустимой – иначе говоря, насколько широко можно применять калибровочную модель. Ответ на этот вопрос дают методы проверки (валидации).

оглавление   ДМ   экономическая информатика   визуальные среды - 4GL   Теория и практика обработки информации

(время поиска примерно 20 секунд)

Знаете ли Вы, что эмпирическая модель - это математическая модель, содержащая числовые параметры, значения которых обоснованы данными опыта или наблюдения.


НОВОСТИ ФОРУМА

Форум Рыцари теории эфира


Рыцари теории эфира
 22.01.2021 - 18:03: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Амары Ельской - Карим_Хайдаров.
22.01.2021 - 13:40: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вячеслава Осиевского - Карим_Хайдаров.
21.01.2021 - 17:54: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ - Economy and Finances -> ПРОБЛЕМА КРИМИНАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИКИ - Карим_Хайдаров.
21.01.2021 - 08:17: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Пламена Паскова - Карим_Хайдаров.
21.01.2021 - 07:59: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Анны ван Дэнски - Карим_Хайдаров.
20.01.2021 - 17:39: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Проблема народного образования - Карим_Хайдаров.
19.01.2021 - 12:55: СОВЕСТЬ - Conscience -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
18.01.2021 - 11:33: ПЕРСОНАЛИИ - Personalias -> WHO IS WHO - КТО ЕСТЬ КТО - Карим_Хайдаров.
18.01.2021 - 09:05: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ПРАВОСУДИЯ.НЕТ - Карим_Хайдаров.
18.01.2021 - 08:21: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Александра Флоридского - Карим_Хайдаров.
17.01.2021 - 17:59: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
17.01.2021 - 16:46: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Владимира Васильевича Квачкова - Карим_Хайдаров.
Боровское исследовательское учреждение - Bourabai Research Bourabai Research Institution