Основная идея математической логики – формализация знаний и рассуждений. Известно, что наиболее легко формализуемые знания – математические. Таким образом, математическая логика, по-существу, – наука о математике, или метаматематика. Центральным понятием математической логики является ``математическое доказательство''. Действительно, ``доказательные'' (иначе говоря, дедуктивные) рассуждения – единственный вид признаваемых в математике рассуждений. Рассуждения в математической логике изучаются с точки зрения формы, а не смысла. По-существу, рассуждения моделируются чисто ``механическим'' процессом переписывания текста ( формул). Такой процесс называют выводом. Говорят еще, что математическая логика оперирует только синтаксическими понятиями.
Однако обычно всё же важно, как соотносятся рассуждения с действительностью (или нашими представлениями). Поэтому, надо всё же иметь в виду некоторый смысл формул и вывода. При этом используют термин семантика (синоном слова ``смысл'') и чётко разделяют синтаксис и семантику.
Когда же действительно интересуются только синтаксисом, часто используют термин ``формальная система''. Мы будем использовать синоним этого термина – ``исчисление'' (используются ещё термины ``формальная теория'' и ``аксиоматика'').
Объектом формальных систем являются строки текста (последовательности символов), с помощью которых записываются формулы.
Формальная система определена, если:
Рассмотрим пример простой, ``игрушечной'' формальной системы.
Пример формальной системы. Популярная формальная система (DH) определяется следующим образом:
MI (аксиома), MII (правило 2), MIIII (правило 2), MIIIIU (правило 1), MIUU (правило 3), MI (правило 4).
Определите, можно ли получить формулу MU с помощью правил вывода из аксиомы.
Раздел ``математическая логика'' состоит из трёх частей: по неформальному аксиоматическому методу, по логике высказываний и по логике предикатов (первого порядка).
Аксиоматический метод построения – первый шаг на пути к формализации теории. Мы рассматриваем аксиоматический метод на примере одной из самых популярных алгебраических систем – арифметики. В третьей части мы приходим уже к полностью формальному описанию арифметики. Для этого нам требуется весь материал, излагаемый во второй и в третьей частях.
По поводу используемой нотации. Текст построен на последовательности задач. Большинство задач состоит в доказательстве некоторых утверждений. Для некоторых задач имеются указания для решения. Для отдельных приведено решение. Некоторые задачи служат для подготовки читателя к следующим задачам – для номеров таких вспомогательных задач используется курсив. В тексте мы часто используем шаблон ``для <объекты> : <свойство>''. Здесь ``:'' является сокращением слов ``выполняется следующее:''.
