Основная идея математической логики – формализация знаний и рассуждений.
Известно, что наиболее легко формализуемые знания – математические.
Таким образом, математическая логика, по-существу, – наука о математике, или
метаматематика.
Центральным понятием математической логики является ``математическое
доказательство''. Действительно, ``доказательные'' (иначе говоря, дедуктивные)
рассуждения – единственный вид признаваемых в математике рассуждений.
Рассуждения в математической логике изучаются с точки зрения формы, а не
смысла. По-существу, рассуждения моделируются чисто ``механическим''
процессом переписывания текста ( формул). Такой процесс называют
выводом.
Говорят еще, что математическая логика оперирует только синтаксическими
понятиями.
Однако обычно всё же важно, как соотносятся рассуждения с действительностью
(или нашими представлениями). Поэтому, надо всё же иметь в виду некоторый
смысл формул и вывода. При этом используют термин
семантика (синоном слова ``смысл'') и чётко разделяют синтаксис
и семантику.
Когда же действительно интересуются только синтаксисом, часто используют
термин ``формальная система''. Мы будем использовать синоним этого термина –
``исчисление'' (используются ещё термины ``формальная теория'' и
``аксиоматика'').
Объектом формальных систем являются строки текста (последовательности
символов), с помощью которых записываются формулы.
Формальная система определена, если:
Задан
алфавит (множество символов, используемых для построения
формул).
Определено, какие именно строки считать
формулами
(остальные строки считаются просто бессмысленными).
Выделено множество формул, называемых
аксиомами. Это –
стартовые точки в выводах.
Задано множество
правил вывода, которые позволяют из некоторой
формулы (или множества формул) получать новую формулу.
Пример формальной системы
Рассмотрим пример простой, ``игрушечной'' формальной системы.
Пример формальной системы.
Популярная формальная система (DH) определяется следующим образом:
Алфавит: {M,I,U}.
Формулы: любая последовательность символов данного алфавита.
Одна аксиома: MI.
Правила вывода:
правило 1: из формулы вида mI можно получить mIU.
правило 2: из формулы вида Mm можно получить Mmm.
правило 3: подстроку III можно заменить на U.
правило 3: подстроку UU можно заменить на пустую строку.
символом m в первом и во втором правиле обозначается произвольное слово.
Приведём пример построения вывода:
MI (аксиома),
MII (правило 2),
MIIII (правило 2),
MIIIIU (правило 1),
MIUU (правило 3),
MI (правило 4).
Определите, можно ли получить формулу MU с помощью правил вывода из аксиомы.
Структура раздела
Раздел ``математическая логика'' состоит из трёх частей:
по неформальному аксиоматическому методу, по логике высказываний
и по логике предикатов (первого порядка).
Аксиоматический метод построения – первый шаг на пути к формализации
теории. Мы рассматриваем аксиоматический метод на примере одной из
самых популярных алгебраических систем – арифметики.
В третьей части мы приходим уже к полностью формальному описанию арифметики.
Для этого нам требуется весь материал, излагаемый во второй и в третьей
частях.
По поводу используемой нотации.
Текст построен на последовательности задач.
Большинство задач состоит в доказательстве некоторых утверждений.
Для некоторых задач имеются указания для решения.
Для отдельных приведено решение.
Некоторые задачи служат для подготовки читателя к следующим задачам –
для номеров таких вспомогательных задач используется курсив.
В тексте мы часто используем шаблон
``для <объекты> : <свойство>''.
Здесь ``:'' является сокращением слов ``выполняется следующее:''.
Знаете ли Вы, в чем ложность понятия "физический вакуум"?
Физический вакуум - понятие релятивистской квантовой физики, под ним там понимают низшее (основное) энергетическое состояние квантованного поля, обладающее нулевыми импульсом, моментом импульса и другими квантовыми числами. Физическим вакуумом релятивистские теоретики называют полностью лишённое вещества пространство, заполненное неизмеряемым, а значит, лишь воображаемым полем. Такое состояние по мнению релятивистов не является абсолютной пустотой, но пространством, заполненным некими фантомными (виртуальными) частицами. Релятивистская квантовая теория поля утверждает, что, в согласии с принципом неопределённости Гейзенберга, в физическом вакууме постоянно рождаются и исчезают виртуальные, то есть кажущиеся (кому кажущиеся?), частицы: происходят так называемые нулевые колебания полей. Виртуальные частицы физического вакуума, а следовательно, он сам, по определению не имеют системы отсчета, так как в противном случае нарушался бы принцип относительности Эйнштейна, на котором основывается теория относительности (то есть стала бы возможной абсолютная система измерения с отсчетом от частиц физического вакуума, что в свою очередь однозначно опровергло бы принцип относительности, на котором постороена СТО). Таким образом, физический вакуум и его частицы не есть элементы физического мира, но лишь элементы теории относительности, которые существуют не в реальном мире, но лишь в релятивистских формулах, нарушая при этом принцип причинности (возникают и исчезают беспричинно), принцип объективности (виртуальные частицы можно считать в зависимсоти от желания теоретика либо существующими, либо не существующими), принцип фактической измеримости (не наблюдаемы, не имеют своей ИСО).
Когда тот или иной физик использует понятие "физический вакуум", он либо не понимает абсурдности этого термина, либо лукавит, являясь скрытым или явным приверженцем релятивистской идеологии.
Понять абсурдность этого понятия легче всего обратившись к истокам его возникновения. Рождено оно было Полем Дираком в 1930-х, когда стало ясно, что отрицание эфира в чистом виде, как это делал великий математик, но посредственный физик Анри Пуанкаре, уже нельзя. Слишком много фактов противоречит этому.
Для защиты релятивизма Поль Дирак ввел афизическое и алогичное понятие отрицательной энергии, а затем и существование "моря" двух компенсирующих друг друга энергий в вакууме - положительной и отрицательной, а также "моря" компенсирующих друг друга частиц - виртуальных (то есть кажущихся) электронов и позитронов в вакууме.
Однако такая постановка является внутренне противоречивой (виртуальные частицы ненаблюдаемы и их по произволу можно считать в одном случае отсутствующими, а в другом - присутствующими) и противоречащей релятивизму (то есть отрицанию эфира, так как при наличии таких частиц в вакууме релятивизм уже просто невозможен). Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.
