Основная идея математической логики – формализация знаний и рассуждений.
Известно, что наиболее легко формализуемые знания – математические.
Таким образом, математическая логика, по-существу, – наука о математике, или
метаматематика.
Центральным понятием математической логики является ``математическое
доказательство''. Действительно, ``доказательные'' (иначе говоря, дедуктивные)
рассуждения – единственный вид признаваемых в математике рассуждений.
Рассуждения в математической логике изучаются с точки зрения формы, а не
смысла. По-существу, рассуждения моделируются чисто ``механическим''
процессом переписывания текста ( формул). Такой процесс называют
выводом.
Говорят еще, что математическая логика оперирует только синтаксическими
понятиями.
Однако обычно всё же важно, как соотносятся рассуждения с действительностью
(или нашими представлениями). Поэтому, надо всё же иметь в виду некоторый
смысл формул и вывода. При этом используют термин
семантика (синоном слова ``смысл'') и чётко разделяют синтаксис
и семантику.
Когда же действительно интересуются только синтаксисом, часто используют
термин ``формальная система''. Мы будем использовать синоним этого термина –
``исчисление'' (используются ещё термины ``формальная теория'' и
``аксиоматика'').
Объектом формальных систем являются строки текста (последовательности
символов), с помощью которых записываются формулы.
Формальная система определена, если:
Задан
алфавит (множество символов, используемых для построения
формул).
Определено, какие именно строки считать
формулами
(остальные строки считаются просто бессмысленными).
Выделено множество формул, называемых
аксиомами. Это –
стартовые точки в выводах.
Задано множество
правил вывода, которые позволяют из некоторой
формулы (или множества формул) получать новую формулу.
Пример формальной системы
Рассмотрим пример простой, ``игрушечной'' формальной системы.
Пример формальной системы.
Популярная формальная система (DH) определяется следующим образом:
Алфавит: {M,I,U}.
Формулы: любая последовательность символов данного алфавита.
Одна аксиома: MI.
Правила вывода:
правило 1: из формулы вида mI можно получить mIU.
правило 2: из формулы вида Mm можно получить Mmm.
правило 3: подстроку III можно заменить на U.
правило 3: подстроку UU можно заменить на пустую строку.
символом m в первом и во втором правиле обозначается произвольное слово.
Приведём пример построения вывода:
MI (аксиома),
MII (правило 2),
MIIII (правило 2),
MIIIIU (правило 1),
MIUU (правило 3),
MI (правило 4).
Определите, можно ли получить формулу MU с помощью правил вывода из аксиомы.
Структура раздела
Раздел ``математическая логика'' состоит из трёх частей:
по неформальному аксиоматическому методу, по логике высказываний
и по логике предикатов (первого порядка).
Аксиоматический метод построения – первый шаг на пути к формализации
теории. Мы рассматриваем аксиоматический метод на примере одной из
самых популярных алгебраических систем – арифметики.
В третьей части мы приходим уже к полностью формальному описанию арифметики.
Для этого нам требуется весь материал, излагаемый во второй и в третьей
частях.
По поводу используемой нотации.
Текст построен на последовательности задач.
Большинство задач состоит в доказательстве некоторых утверждений.
Для некоторых задач имеются указания для решения.
Для отдельных приведено решение.
Некоторые задачи служат для подготовки читателя к следующим задачам –
для номеров таких вспомогательных задач используется курсив.
В тексте мы часто используем шаблон
``для <объекты> : <свойство>''.
Здесь ``:'' является сокращением слов ``выполняется следующее:''.
Знаете ли Вы, что релятивизм (СТО и ОТО) не является истинной наукой? - Истинная наука обязательно опирается на причинность и законы природы, данные нам в физических явлениях (фактах). В отличие от этого СТО и ОТО построены на аксиоматических постулатах, то есть принципиально недоказуемых догматах, в которые обязаны верить последователи этих учений. То есть релятивизм есть форма религии, культа, раздуваемого политической машиной мифического авторитета Эйнштейна и верных его последователей, возводимых в ранг святых от релятивистской физики. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.
