Galileo - Dimostrazioni
 - Галилей - Трактат о механике и местном движении

 

ГАЛИЛЕО ГАЛИЛЕЙ

том первый

D1SCORSI

DIMOSTRAZIONI

MA T E M A T I С Н E,

intorno a due пиоце fiienеtte

Attenenti alia

Mecanica i Movimenti Logah,

del Signor

GALILEO GALILEI LINСEO,

Filosofoe Matematico primario del Sereniffimo Grand Ducadi Toscana.

Com vna Jppmdke delcentro digranite. almnisoum

IN LEIDA,

Appreslbe Ji Elfevirii. м. d. c. xxxviti.

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

касающиеся двух новых

ОТРАСЛЕЙ НАУКИ

относящихся К механике и Местному Движению

синьора

ГАЛИЛЕЮ ГАЛИЛЕЯ ЛИНЧEО

Философа, и пербого математика
светлейшего великого

герцога тосканского

С ПРИЛОЖЕНИЕМ О ЦЕНТРАХ ТЯЖЕСТИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕЛ

ДЕНЬ ВТОРОЙ

Сагредо. Пока синьор Симпличио и я ожидали вашего прихода, мы старались возобновить в памяти наши последние рассуждения и особенно те предложения относительно сопротивления твердых тел разрушению, которые вы намеревались доказать. Это сопротивление мы с вами приписали некоторому связывающему средству, которое держит частицы тел: настолько связдыми и прочно соединенными друг с другом, что они уступают и разделяются только при приложении достаточной для того силы. Затем мы начали искать, какова могла бы быть причина такой связности, достигающей в некоторых телах большой величины^ и остановились на предположении, что главную роль здесь играет пустота; это дало повод к таким отступлениям, что в течение всего дня мы были Заняты рассуждениями, далекими от первоначальной темы, которая заключалась, как я уже упомянул?, в рака-смотрении сопротивления, оказываемого телами излому.

Сальвиати. Все это я хор'ошо помню. Возвращаясь к началу нити наших рассуждений, скажу, что чем бы ни вызывалось сопротивление тел силе, стре-

мящейся их сломать, несомненно, что такое сопротивление имеется в них налицо; сопротивление это очень велико в отношении силы, растягивающей их вдоль, и значительно меньше в отношении силы, действующей в поперечном направлении. Таким образом, например,, стальной или стеклянный стержень может выдержать груз в тысячу фунтов, если последний подвешен так, что растягивает его в длину, и в то же время, будучи закреплен одним концом в стене, сломается от прикрепления к другому концу груза всего в пять-десять фунтов. О сопротивлении второго рода мы и будем теперь беседовать, стараясь отыскать, в каком отношении оно находится у подобных между собою и несходных друг с другом призм и цилиндров из одного и того же вещества, но имеющих различную длину и толщину. При этих рассуждениях я буду считать известным то положение, которое высказывается в механике относительно так называемого рычага, а именно, что при употреблении рычага сила и сопротивление обратно пропорциональны расстояниям точек приложения действующей силы и силы сопротивления от точки его опоры.

С и м п л. Это предложение было доказано Аристотелем в его "Механике" ранее всех других.

Сальв. Предоставим ему право первенства по времени; но что касается твердого доказательства этого положения, то мне кажется, что мы должны приписать таковое Архимеду, из одного положения которого, касающегося равновесия, вытекает не только закон

рычага, но и большая часть других предложений, касающихся механических инструментов 28.

Сагр. Но если этот закон является основанием для всего того, что вы собираетесь нам доказать, то было бы нелишним привести полное и точное доказательство его, которое и послужит нам введением, не отняв у нас много времени.

С а л ь в. Если мне предстоит это сделать, то для того чтобы ввести вас в курс всего последующего, будет лучше итти, как я полагаю, несколько иным путем, чем Архимед, и принять за основное то положение, что равные грузы, действующие на равные-плечи весов, остаются в равновесии (принцип, положенный в основание также и Архимедом), а ратеж показать правильность того, что различные грузы находятся в равновесии в случае плеч разной длины, если только длины эти находятся между собою в отношении, обратном отношению грузов, и что таким образом один и тот же закон проявляется как в случае равновесия равных грузов на равноплечих весахг так и в случае равновесия различных грузов, если только плечи весов имеют отношение, обратное отношению грузов.

Для более ясного представления сказанного начертим призму или цилиндр АВ, подвешенный за концы на двух нитях НА и IB к стержню Ш. Ясно, что-если я подвешу целое в середине С коромысла Ш, то призма АВ, согласно принятому нами принципу,, останется в равновесии, так как половина ее веса останется по одну сторону, а половина-по другую сторону от точки С. Представим себе теперь, что лризма разделена плоскостью по линии D на две неравных части, из которых DA пусть будет большей, а DB-меньшей; чтобы и после этого разделения части агризмы оставались в таком же положении по отношению к линии HI, как и раньше, протянем новую нить ED, которая, будучи прикреплена в точке Е, поддержит части призмы AD и DB.

Нельзя сомневаться, что и в ртом случае, благодаря отсутствию какого-либо местного перемещения призмы относительно коромыс-,ла HI, таковая нопрежнему останется в равновесии. Но то же самое положение будет иметь место и в том случае, если часть приемы, поддерживаемая двумя нитями АН и DE, будет подвешена посредине к одной нити GL, а другая часть призмы-DB-будет подвешена также посредине к одной нити FM. Удалим теперь нити НА, ED и IB и оставим только две-GL и FM; равновесие коромысла, имеющего точку опоры в С, сохранится попрежнему. Но если вы теперь всмотритесь, то увидите, что мы имеем два тяжелых тела AD и DB, подвешенных к концам G и F коромысла GF, которое находится в равновесии, имея точку опоры в С; расстояние от этой точки до точки подвеса груза А1> будет равно линии CG и до точки подвеса меньшего; груза DB-линии CF. Теперь остается только доказать., что эти расстояния имеют такое же отношение, как и грузы, только взятое обратно, т. е. что GC относится к CF, как призма DB к призме DA, что мы и сделаем следующим образом. Так как линия GE есть половина линии ЕН, а линия EF-половина EI, то. вся линия GF будет равна половине линии HI, т. е" равна CI; вычитая общую обеим линиям часть CF, получим равные остатки: в первом случае-GC, во" втором-FI, равный FE; прибавляя к обоим остаткам, линию СЕ, получаем две равных линии GE и CF. Следовательно, как GE относится к EF, так же относится и FC к CG; далее, как GE относится к EFr так же относятся и вдвое большие длины, т. е. линии НЕ и EI или призма AD к призме DB; отсюда, производя перестановку членов, получаем пропорцию: расстояние GC относится к расстоянию CF, как груз. BD к грузу DA, что нам и требовалось доказать. Полагаю, что вы не встречаете затруднений в признании того, что обе призмы AD и DB остаются в равновесии около точки опоры С, поскольку одна половина веса всего тела АВ располагается по одну сторону, а другая половина-по другую сторону от С, н мы можем представить их себе как равные грузы, расположенные на равном расстоянии от точки опоры.

Превратим ли мы теперь обе приемы AD и DB в два куба или два шара или в какие-либо иные фигуры (сохраняя неизменно точки подвеса в G и F), равновесие около точки С сохранится; не думаю, чтобы нашелся кто-либо, сомневающийся в том очевидном факте, что форма не изменяет веса тел, если последние содержат одно и то же количество материи. Но отсюда мы можем вывести общее заключение, что два груза, расположенных от точки опоры на расстояниях, обратно пропорциональных их весу, находятся в равновесии.

Установив этот принцип, мы должны подумать, прежде чем переходить к дальнейшему, как можно представлять себе все эти силы, сопротивления, моменты, фигуры и т. д. отвлеченно и отдельно от материи, а с другой стороны-конкретно и в связи с "материей; в самом деле, свойства фигур, рассматриваемых в отвлечении от материи, претерпевают некоторые изменения от придания последним материи, .а следовательно, и тяжести. Если, например, мы представим себе рычаг ВА с подпоркою в точке С расположенным таким образом, чтобы посредством него можно было поднять большой камень D, то на основании приведенного выше принципа ясно, что сила, приложенная к концу рычага В, будет достаточна для уравновешивания сопротивления камня D в том случае, если момент ее будет относиться к моменту тяжести D так же, как расстояние АС к расстоянию СВ. Эт0 будет справедливо, если не принимать во внимание никаких других моментов, кроме простой силы в В и "сопротивления в D, представляя: себе рычаг нематериальным и не имеющим веса; но если мы захотим учесть и вес самого инструмента, т. е. рычага, который сделан из дерева или, что еще вероятнее, из железа, то ясно, что к силе В прибавится: вес рычага, который изменит отношение, и для лоследнего потребуется уже иное выражение.

Поэтому, прежде чем идти далее, необходимо условиться относительно разграничения этих двух способов рассмотрения явления. Мы будем говорить о явлении, взятом абсолютно, когда будем рассматривать инструменты абстрактно и независимо от веса составляющего их вещества; прибавляя затем к простой абсолютной фигуре материю со свойственным ей весом, мы будем говорить применительно к фигуре, связанной с материей, о сложных моментах и сила х.

Сагр. Я принужден отступить от первоначального намерения не давать повода к отступлениям; но я не в состоянии следить внимательно за дальнейшим, если у меня остается не рассеянным какое-либо возникшее сомнение. В данном случае последнее таково;

мне кажется, что вы сравниваете силу, приложенную в В, с весом всего камня D, в то время как частг" последнего, и вероятно большая, покоится на горизонтальной плоскости; таким образом...

С а л ь в. Прекрасно понял. Вы совершенно правы; в ответ вам замечу только, что я говорил не о всем весе камня, а лишь о моменте, с которым он производит давление на точку А-конец рычага ВА,-который всегда меньше общего веса камня и меняется в зависимости от формы камня и большей или меньшей степени его поднятия.

С а г р. Хорошо, но теперь у меня рождается желание, чтобы для полноты вопроса мне был указан, если это возможно, способ, которым можно было бы определить, какая часть общего веса поддерживается опорной поверхностью и какая оказывает действие на конец рычага А.

С а л ь в. Я не откажусь дать вам объяснение, которое можно сделать в немногих словах. Представьте себе, что тело, имеющее центр тяжести в А, лежит на горизонтальной плоскости концом В, другой же конец его поддерживается посредством рычага CG, имеющего точку опоры в N, некоторой силой, приложенной в точке G. Из центра А и точки С опустим на плоскость горизонта перпендикуляры АО и CF. Утверждаю, что отношение момента всего веса т-ела к моменту силы, приложенной в G, равно составному отношению расстояния GN к расстоянию NC и расстояния FB к расстоянию ВО. Пусть отношение линии FB к ВО равно отношению NC к некоторой линии X; так как весь вес тела А покоится на двух точках В и С, то силы, действующие в этих точках В и С, относятся одна к другой так, как расстояние FO к ОВ.

Соединяя силы, действующие в точках В и С в одну, т. е. получая момент всего веса тела А, находим, что последний относится к силе, приложенной в С, как линия FB к линии ВО, т. е. как NC к X; но момент силы, приложенной в С, относится к моменту силы, приложенной в G, как расстояние GN к расстоянию NC; отсюда следует, обратно, что весь вес А относится к моменту силы, действующей в G, как GN к X. Но" отношение GN к X составлено из отношений GN к NC и NC к X или FB к ВО; следовательно, отношение общего веса,А к силе, его поддерживающей и действующей в точке G, равно сложному отношению GN к NC и FB к ВО, что нам и требовалось доказать29.

Возвращаюсь теперь к нашей первоначальной задаче. После только что доказанного нетрудно будет понять причину того, что твердые цилиндры или призмы из стекла, стали, дерева или иного ломкого материала, будучи подвешены вертикально, выдержи-

вают весьма большой груз, в то время как при горизонтальном: положении (как я уже упоминал вьппе) они могут быть сломаны малым грузом и тем меньшим, чем более длина цилиндра или призмы превосходит их толщину. Представим себе призму ABCD, вделанную в стену своей частью АВ, на другой конец которой действует сила груза Е (предполагая, что стена возведена отвесно к горизонту, и призма вделана в стену под прямым углом). Ясно, что если нризма должна сломаться, то это произойдет в В, где граница стены служит точкою опоры, а ВС представляет одну часть рычага, на которую действует сила; толщина тела ВА есть другая часть рычага, на которую действует сопротивление, обусловливаемое сцеплением частиц тела BD с теми частицами его, которые находятся в стене. На основании доказанного ранее момент силы, действующей в С, и момент сопротивления, обусловливаемый толщиною призмы, т. е. сцеплением частиц основания призмы ВА с частицами ее продолжения, имеют то же отношение, что и длина СВ к половине ВА; поэтому абсолютное сопротивление призмы BD разрыву (под каковым мы подразумеваем сопротивление действию силы в продольном направлении, при котором растягивающая сила и сопротивление равны между собою) так относится к сопротивлению разрыву посредством рычага ВС, как длина ВС к половине толщины призмы АВ или радиусу основания, если взят цилиндр 30. Таково наше первое положение. Заметьте себе, что сказанное правильно лишь при условии, что мы не принимаем во внимание собственного веса тела BD, считая последнее невесомым.

Если мы пожелаем принять в расчет и его вес, действующий одновременно с грузом Е, то мы должны будем прибавить к весу груза Е половину веса тела BD; таким образом, если, например, тело BD весит два фунта, а груз Е десять фунтов, то необходимо будет принять, что в Е действует сила, равная одиннадцати фунтам.

Симпл. А почему же не двенадцати фунтам? Саль в. Груз Е, любезный синьор Симпличио, висящий на конце С, действует в отношении рычага ВС всем своим моментом, равным десяти фунтам; если бы в той же точке действовал и вес тела BD, то мы имели бы момент, равный еще двум фунтам; но, как вы видите, частицы тела распределены равномерно на всем протяжении ВС, причем те из них, которые' расположены ближе к концу В, действуют с меньшей силою, чем более отдаленные; уравнивая все эти силы, найдем, что они могут быть заменены одной силой, равной общему весу призмы, приложенному в центре ее тяжести, расположенном в середине рычага ВС; но груз, действующий на конец С, имеет момент вдвое больший, чем тот груз, который действует, будучи подвешен посредине; следовательно, только половина веса призмы должна быть прибавлена к весу Е, если мы рассматриваем моменты обеих сил, относя их действие к точке С.

Симпл. Теперь понимаю. Кроме того, если я не ошибаюсь, действие обоих грузов BD и Е, приложенных, как указано, будет одинаково с моментом всего веса BD и двойного груза Е, если бы они были приложены в середине рычага ВС.

С а л ь в. Совершенно верно, и это необходимо хорошенько запомнить. Теперь мы можем немедленно определить, в какой степени пластинка или еще лучше призма, более широкая нежели толстая, может оказать противодействие излому в зависимости от того, в каком направлении мы будем изгибать ее- по ширине или толщине. Для примера возьмем линейку ad, ширина которой будет ас, а толщина, значительно меньшая,- cb.

Спрашивается, почему, если положить линейку на ребро, как изображено на фигуре первой, то она окажет сопротивление значительному грузу Т, положенная же плашмя, как изображено на фигуре второй, не сможет выдержать и веса X, значительно меньшего, чем Т? Это станет понятным, если мы обратим внимание, что опора в одном случае располагается по линии be, а в другом-по линии са, расстояние же действующей силы в том и другом случае одинаково и равно длине bd. В первом случае расстояние сопротивления от опоры, равное половине линии са, значительно больше, чем во втором, где оно равно половине be; поэтому груз Т должен во столько раз превосходить груз X, во сколько раз половина ширины са превосходит половину толщины cb; последние, т. е. половина са и соответственно половина cb, представляют собою плечи рычагов одного и того же сопротивления, обусловливаемого волокнами всего основания ab. Отсюда Заключаем, что одна и та же линейка или призма, имеющая большую ширину, нежели толщину, оказывает большее сопротивление излому, будучи положена на ребро, нежели плашмя, в строгом соответствии с отношением ее ширины к толщине.

Теперь приступим к рассмотрению, в какой мере увеличивается момент собственного веса по сравнению с собственным сопротивлением излому призмы или цилиндра, когда последние, будучи расположены параллельно горизонту, увеличиваются в длину; при Этом мы найдем, что момент этот возрастает пропорционально квадрату длины. Для доказательства ртого представим себе призму или цилиндр AD прочно вделанным в стену концом А параллельно горизонту, а затем предположим, что он удлинился до Е, так что к нему прибавилась часть BE. Ясно, что самое удлинение рычага АВ до С, взятое абсолютно, увеличивает момент силы, действующей на сопротивление излому в точке А, в отношении СА к ВА; но прибавление веса тела BE к весу тела АВ увеличивает, кроме того, момент действия веса в том же отношении, в каком призма АЕ находится к призме AD, каковое отношение одинаково с отношением длины АС к длине АВ. Теперь ясно, что сложный момент, получающийся от совокупности обоих приращений-длины и тяжести, будет пропорционален квадрату той или другой. Отсюда заключаем, что моменты сил призм и цилиндров одинаковой толщины, но разной длины, относятся друг к другу, как квадраты длины.

Покажем теперь, во-вторых, в какой пропорции возрастает сопротивление излому призм или цилиндров одинаковой длины при возрастании их толщины. Утверждаю: в призмах или цилиндрах одинаковой длины, но разной толщины, сопротивление излому возрастает в тройном отношении толщины или диаметров их оснований.

Пусть имеются два цилиндра А и В, длины которых DG и FH равны, основания же различны и равны кругам с диаметрами CD и ЕГ; утверждаю, что отношение сопротивления излому цилиндра В к такому же сопротивлению цилиндра А будет равно кубу отношения диаметра FE к диаметру DC. Pac-

сматривал простое и абсолютное сопротивление оснований EFh CD разрыву под действием растягивающей силы, найдем, без сомнения, что сопротивление цилиндра " В во столько раз превосходит сопротивление цилиндра А, во сколько раз круг EF больше круга CD, потому что во столько же раз многочисленнее и волокна, нити или другие элементы, связывающие части твердого тела. Если мы примем теперь во внимание, что силы, производящие поперечное давление, приложены к двум рычагам, плечи которых или расстояния от действующих сил равны линиям DG и FH, что точки опоры их находятся в D и Г, другие же плечи их или расстояния, на которых действуют сопротивления, суть радиусы кругов DC и EF, поскольку сопротивление волокон, распространенных по всей площади кругов, может быть отнесено к их центрам; если, говорю я, мы примем во внимание действие таких рычагов, то найдем, что в центре основания EF сопротивление силе, приложенной в Н, будет во столько раз больше сопротивления основания CD силе, приложенной в G (а силы, приложенные в точках G и Н, действуют на равные плечи DG и FH), во сколько раз радиус FE больше радиуса DC. Таким образом отношение сопротивления излому цилиндра В к сопротивлению цилиндра А равно составному отношению площадей кругов EF и DC и их радиусов или, скажем, диаметров; но отношение кругов равно двойному отно- шению их диаметров, откуда следует, что отношение сопротивлений, составляющееся из этих отношений, является тройным отношением, что нам и требовалось доказать. Но так как отношение кубов равно тройному отношению их сторон, то мы можем заключить, что сопротивление цилиндров одинаковой длины пропорционально кубам их диаметров.

Из только что доказанного можно далее вывести, что сопротивление призм и цилиндров одинаковой длины равняется полуторной степени отношения их объемов. Это следует из того, что призмы и цилиндры одинаковой высоты относятся между собою, как их основания, т. е. как квадраты сторон или диаметров основания; отношение же сопротивлений (как только что было показано) равно отношению кубов тех же сторон или диаметров. Отсюда отношение сопротивлений равняется полуторной степени отношения объ- емов этих тел иди, что то же самое, их весов 31.

Симпл. Прежде чем итти далее, прошу вас разъ- яснить некоторое мое недоумение. Неясно, почему мы

до сих пор не принимаем в соображение сопротивления особого рода, уменьшающегося, по моему мнению, в телах по мере их удлинения и притом не только при поперечном изгибе, но и при продольном растяжении. Ведь, мы находим на деле, что длинный канат менее способен выдержать большой груз, нежели короткий; и я думаю, что деревянный или железный брус может выдержать большую тяжесть, если он короток, нежели если он имеет значительную длину. Говоря это, я подразумеваю продольное растяжение, принимая также во внимание и собственный вес, конечно, больший у длинной веревки и длинного бруса.

С а л ь в. Думаю, синьор Симпличио, что в этом пункте вы, как и многие другие, заблуждаетесь, если 'только, конечно, я правильно понял ваше положение; вы как будто хотите сказать, что длинная веревка, например в сорок локтей, не может Выдержать такого груза, как подобная же веревка в локоть или два длиною?

Симпл. Это самое я и хотел сказать и думаю, что мое утверждение достаточно правдоподобно.

С а л ь в. Я же считаю его не только не правдоподобным, но и совершенно ложным и полагаю, что легко могу вывести вас из заблуждения. Для этого возьмем веревку АВ, привяжем ее наверху одним концом А, а к другому концу подвесим груз С, от тяжести которого веревка должна разорваться. На-. метьте мне теперь, синьор Симпличио, какое-нибудь место, где должен произойти разрыв.

 Симпл. Допустим, что он произойдет в месте D.

С а л ь в. Теперь я спрошу васл какова причина разрыва веревки в D?

С и м п л. Причиной является то, что в данном месте веревка не в состоянии выдержать, скажем, ста фунтов-веса части веревки DB вместе с привязанным камнем С.

С а л ь в. Следовательно, всякий раз, как на веревку подействует в месте D тот же вес в сто фунтов, она будет разорвана?

Симпл. Полагаю, что так.

С а л ь в. Но скажите мне теперь, если подвязать тот же груз не к концу веревки В, но ближе к точке D, Например в точке Е, или прикрепить веревку наверху не за конец А, но в каком-либо другом месте над точкою D, например в Г, то будет ли веревка в точке D испытывать действие того же груза в 100 фунтов?

Симпл. Несомненно, если только к весу камня С приложить и вес части веревки ЕВ.

С а л ь в. Таким образом, если веревка в месте D будет испытывать действие груза в сто фунтов, то она, согласно вашему утверждению, разорвется, а между тем, часть веревки FE меньше всей веревки АВ. Каким: же образом вы утверждаете, что длинная веревка менее прочна, нежели короткая? Признайте теперь, что я освободил вас от заблуждения, в котором пребывают очень многие и притом вполне Интел-

лигентные люди. Последуем далее. После того как я показал, что момент, преодолевающий сопротивление излому призм и цилиндров, изменяется пропорционально квадратам их длины (при условии сохранения постоянно одной и той же толщины) и что у тех же тел, равных по длине, но имеющих разную толщину, сопротивление изменяется пропорционально кубам сторон или диаметров их оснований, перейдем к рассмотрению того, что происходит с телами при одновременном изменении длины и толщины. Относительно такого случая говорю: призмы и цилиндры различной длины и толщины оказывают сопротивление излому, пропорциональное кубам диаметров их оснований и одновременно обратно пропорциональное их длинам.

Пусть даны два таких цилиндра ABC и DEF. Утверждаю, что отношение сопротивления цилиндра АС к сопротивлению цилиндра DF равно составному отношению куба диаметра АВ к кубу диаметра DE и длины EF к длине ВС. Отложим на более длинном цилиндре часть EG, равную ВС; пусть Н будет третьей пропорциональной линий АВ и DE, а I - четвертой пропорциональной, и пусть отношение EF к ВС будет равно отношению' I к ?>32. Отношение сопротивления цилиндра АС к сопротивлению цилиднра DG равно отношению куба АВ к кубу DE, т. е. линии АВ к I, .а отношение сопротивления цилиндра DG к сопротивлению цилиндра DF равно

 

отношению длины FE к длине EG, т. е. линии! I к S. На основании этих пропорций заключаем, что сопротивление цилиндра АС относится к сопротивлению цилиндра DF, как линия АВ к S; но отношение линии АВ к S равно составному отношению АВ к I и I к S; следовательно, отношению сопротивления цилиндра АС к сопротивлению цилиндра DF равно составному отношению АВ к I, т. е. отношению куба АВ к кубу DE и отношению линии I к линии S или длины EF к длине ВС, что и требовалось доказать 33. После приведенного доказательства я хочу

рассмотреть еще один случай, а именно тот, когда цилиндры или призмы подобны. Относительно таких тел я докажу, что

у подобных цилиндров или призм отношение составных моментов, обусловливаемых весом и длиною, равняется полуторной степени отношения сопротивления их оснований.

Чтобы доказать это? начертим два подобных цилиндра АВ и CD. Утверждаю, что отношение момента цилиндра АВ, преодолевающего сопротивление его основания В, к моменту цилиндра CD, преодо

девающему сопротивление основания последнего D, равняется полуторной степени отношения сопротивления основания В к сопротивлению основания D. В самом деле, моменты твердых тел АВ и CD и сопротивлений их оснований В и D составляются из веса этих тел и сопротивлений, действующих на плечи рычагов; но плечи рычагов цилиндра АВ относятся между собою, как плечи рычагов цилиндра CD (так как вследствие подобия цилиндров длина АВ относится к радиусу основания В так же, как длина CD к радиусу основания D); поэтому весь момент цилиндра АВ относится ко всему моменту цилидра CD только, как вес цилиндра АВ к весу цилиндра CD, т. е. как объем цилиндра АВ к объему цилиндра CD. Но последние относятся, как кубы диаметров оснований цилиндров В и D, в то время как сопротивления оснований пропорциональны площадям последних, т. е. квадратам диаметров оснований, откуда следует, что отношение моментов цилиндров равно полуторной степени отношения сопротивления их оснований 34.

С и м п л. Такое положение представляется для меня не только совершенно новым, но и неожиданным, а также весьма далеким от того, что я думал: основываясь на полном подобии фигур, я был уверен, что отношение их моментов к сопротивлениям остается неизменным.

Сагр. Доказательство касалось того положения, из которого мы исходили в наших рассуждениях и которое сначала представлялось мне темным.

Сальв. То, что сказал синьор Симпличио, разделялось до последнего времени и мною; я также считал сопротивления подобных фигур пропорциональными, пока некоторые наблюдения не показали мне, что прочность подобных тел не сохраняет того же отношения, которое существует между величиной тел, и что большие тела обладают меньшею способностью противодействия внешним силам; например, при падении взрослые люди претерпевают по сравнению с малыми детьми большие повреждения; при падении с одной и той же большой высоты тяжелая балка или колонна, как мы уже говорили раньше, разбиваются на куски, тогда как небольшой брусок или маленький мраморный цилиндр остаются целыми. Подобные наблюдения побудили меня заняться этим вопросом и привели к заключению, с которым я вас познакомил. Заключение поистине удивительное: оказывается, что из бесчисленного множества подобных тел нельзя найти двух таких, у которых отношение моментов к сопротивлениям сохраняло бы постоянную величину.

С и м п л. Это заставляет меня припомнить одно место из Аристотеля, который в своих "Проблемах механики" задается вопросом, почему деревянные жерди

тем слабее и легче прогибаются, чем они длиннее, хотя бы более короткие были тоньше, а длинные- толще. Если я только верно помню, он сводит причину к: действию простого рычага35.

С а л ь в. Это совершенно верно, но так как данное там решение не устраняло всех сомнений, то мон-синьор ди Гуевара, обогативший и осветивший означенное сочинение своими высокоучеными комментариями, привел другие остроумные соображения для устранения всех затруднений. Однако относительно одного пункта и он остался в заблуждении, полагая, что" при увеличении в одинаковой пропорции длины и толщины твердых тел прочность их и сопротивление излому и разрушению остаются без изменения. После долгих размышлений над этим вопросом я пришел к выводам, с которыми вас сейчас и познакомлю. Прежде всего, я докажу, что среди подобных и весомых призм и цилиндров имеется только одно тело, которое находится (под действием собственного веса) на границе между тем, чтобы сломаться или остаться целым, так что всякое тело большего размера не способно выдержать собственного веса и ломается, а всякое меньшее тело остается в целости, так как сопротивление его больше силы, стремящейся его сломать.

Пусть АВ тяжелая призма, доведенная до предельной длины, так что при увеличении длины ее на самую малость она сломается; утверждаю, что она будет единственной, находящейся в таком избранном нами состоянии среди всех ей подобных (число коих бесконечно), и что всякая большая призма под действием собственного веса сломается, всякая же меньшая будет в состоянии помимо собственного веса выдержать и еще некоторую тяжесть. Пусть СЕ будет призма, подобная АВ, но большая. Утверждаю, что она не сможет держаться, но сломается от дей. А ствия собственного веса-Отложим на большой призме часть CD, равную по длине АВ. Сопротивление CD относится к сопротивлению АВ, как куб толщины CD к кубу толщины АВ или как призма СЕ к призме АВ (вследствие подобия этих призм); поэтому вес призмы СЕ есть тот предельный вес, который может выдержать призма, равная по длине CD; но так как длина призмы СЕ больше, то призма СЕ сломается. Возьмем теперь меньшую призму FG. Можно доказать подобным же образом (положив FH равным АВ), что сопротивление FG относилось бы к сопротивлению АВ, как призма FG к призме АВ, если бы длина АВ или FH равнялась FG; но на самом деле она больше; следовательно, момент HpH3MbiFG, оканчивающейся в G, будет недостаточным для того, чтобы сломать эту призму FG 36.

Carp. Краткое и блестящее доказательство, обнаруживающее правильность и необходимость такого положения, которое на первый взгляд кажется довольно неправдоподобным. Необходимо, следовательно, значительно изменить отношение между длиною и толщиною большей призмы, сократив ее длину или увеличив ее толщину, чтобы привести ее в такой вид, при котором она находилась бы на границе! между тем, чтобы сломаться или остаться целой. Думается, что рассмотрение такого случая могло бы показать нам много интересного.

назад вперед

Знаете ли Вы, что, как и всякая идолопоклонническая религия, релятивизм представляет собой инструмент идеологического подчинения одних людей другим с помощью абсолютно бессовестной манипуляции их психикой для достижения интересов определенных групп людей, стоящих у руля этой воровской машины? Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

Bourabai Research Institution home page

Боровское исследовательское учреждение - Bourabai Research Bourabai Research Institution