Основные алгоритмы компьютерной графики   БПФ   КГ   ДМ   ТПОИ   Теория сигналов  

Быстрое преобразование Фурье

Физический смысл БПФ

Для чего нужно быстрое преобразование Фурье или вообще дискретное преобразование Фурье (ДПФ)? Давайте попробуем разобраться.

Пусть у нас есть функция синуса x = sin(t).

Максимальная амплитуда этого колебания равна 1. Если умножить его на некоторый коэффициент A, то получим тот же график, растянутый по вертикали в A раз: x = Asin(t).

Период колебания равен . Если мы хотим увеличить период до T, то надо умножить переменную t на коэффициент. Это вызовет растяжение графика по горизонтали: x = A sin(2πt/T).

Частота колебания обратна периоду: ν = 1/T. Также говорят о круговой частоте, которая вычисляется по формуле: ω= 2πν = 2πT. Откуда: x = A sin(ωt).

И, наконец, есть фаза, обозначаемая как φ. Она определяет сдвиг графика колебания влево. В результате сочетания всех этих параметров получается гармоническое колебание или просто гармоника:

Очень похоже выглядит и выражение гармоники через косинус:

Большой разницы нет. Достаточно изменить фазу на π/2, чтобы перейти от синуса к косинусу и обратно. Далее будем подразумевать под гармоникой функцию косинуса:

x = A cos(2πt/T + φ) = A cos(2πνt + φ) = A cos(ωt + φ)     (18)

В природе и технике колебания, описываемые подобной функцией чрезвычайно распространены. Например, маятник, струна, водные и звуковые волны и прочее, и прочее.

Преобразуем (18) по формуле косинуса суммы:

x = A cos φ cos(2πt/T) - A sin φ sin(2πt/T)     (19)

Выделим в (19) элементы, независимые от t, и обозначим их как Re и Im:

x = Re cos(2πt/T) - Im sin(2πt / T)    (20)

Re = A cos φ, Im = A sin φ

По величинам Re и Im можно однозначно восстановить амплитуду и фазу исходной гармоники:

   и       (21)

Рассмотрим очень распространенную практическую ситуацию. Пусть у нас есть звуковое или какое-то иное колебание в виде функции x = f(t). Пусть это колебание было записано в виде графика для отрезка времени [0, T]. Для обработки компьютером нужно выполнить дискретизацию. Отрезок делится на N-1 равных частей, границы частей обозначим tn = nT/N. Сохраняются N значений функции на границах частей: xn = f(tn) = { x0, x1, x2,..., xN }.

    

В результате прямого дискретного преобразования Фурье были получены N значений для Xk:

    (22)

Теперь возьмем обратное преобразование Фурье:

    (23)

Выполним над этой формулой следующие действия: разложим каждое комплексное Xk на мнимую и действительную составляющие Xk = Rek + j Imk; разложим экспоненту по формуле Эйлера на синус и косинус действительного аргумента; перемножим; внесем 1/N под знак суммы и перегруппируем элементы в две суммы:

    (24)

Это была цепочка равенств, которая начиналась с действительного числа xn. В конце получилось две суммы, одна из которых помножена на мнимую единицу j. Сами же суммы состоят из действительных слагаемых. Отсюда следует, что вторая сумма должна быть равна нулю. Отбросим ее и получим:

    (25)

Поскольку при дискретизации мы брали tn = nT/N и , то можем выполнить замену: n = tnN/T. Следовательно, в синусе и косинусе вместо 2πkn/N можно написать 2πktn/T. В результате получим:

    (26)

Сопоставим эту формулу с формулой (20) для гармоники:

x = Re cos(2πt/T) - Im sin(2πt / T)    (20)

Слагаемые суммы (26) аналогичны формуле (20), а формула (20) описывает гармоническое колебание. Значит сумма (26) представляет собой сумму из N гармонических колебаний разной частоты, фазы и амплитуды.

Выше объяснялось, каким образом формула вида (20) может быть преобразована в формулу вида (18):

x = A cos(2πt/T + φ)    (18)

Выполним такое же преобразование для слагаемых суммы (26), преобразуем их из вида (20) в вид (18). Получим:

    (27)

Далее будем функцию

Gk(t) = Ak cos(2πtk/T + φk)     (28)

называть k-й гармоникой.

Для вычисления Ak и φk надо использовать формулу (21). Теперь выпишем в одном месте все формулы, которые связывают амплитуду, фазу, частоту и период каждой из гармоник с коэффициентами Xk:

    (29)

Функция Arg(X) - это аргумент комплексного числа. В языке C++ для ее вычиления удобно использовать функцию atan2(Im, Re).

Итак. Физический смысл дискретного преобразования Фурье состоит в том, чтобы представить некоторый дискретный сигнал в виде суммы гармоник. Параметры каждой гармоники вычисляются прямым преобразованием, а сумма гармоник - обратным.

Основные алгоритмы компьютерной графики   БПФ   КГ   ДМ   ТПОИ   Теория сигналов  

(время поиска примерно 20 секунд)


Знаете ли Вы, что "тёмная материя" - такая же фикция, как черная кошка в темной комнате. Это не физическая реальность, но фокус, подмена.
Реально идет речь о том, что релятивистские формулы не соответствуют астрономическим наблюдениям, давая на порядок и более меньшую массу и меньшую энергию. Отсюда сделан фокуснический вывод, что есть "темная материя" и "темная энергия", но не вывод, что релятивистские формулы не соответствуют реалиям. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Форум Рыцари теории эфира


Рыцари теории эфира
 29.11.2020 - 11:44: СОВЕСТЬ - Conscience -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
29.11.2020 - 11:36: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров.
29.11.2020 - 11:36: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
29.11.2020 - 11:33: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Галины Царёвой - Карим_Хайдаров.
29.11.2020 - 09:10: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Пламена Паскова - Карим_Хайдаров.
29.11.2020 - 09:04: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ПРАВОСУДИЯ.НЕТ - Карим_Хайдаров.
29.11.2020 - 09:01: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ПРОБЛЕМЫ МЕДИЦИНЫ - Карим_Хайдаров.
29.11.2020 - 08:58: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ЭКОЛОГИЯ ДЛЯ ВСЕХ - Карим_Хайдаров.
28.11.2020 - 15:48: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Юрия Воробьевского - Карим_Хайдаров.
28.11.2020 - 11:37: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ЗА НАМИ БЛЮДЯТ - Карим_Хайдаров.
28.11.2020 - 11:36: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Аманды Вольмер - Карим_Хайдаров.
28.11.2020 - 09:04: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Александра Флоридского - Карим_Хайдаров.

Боровское исследовательское учреждение - Bourabai Research Bourabai Research Institution