Основные алгоритмы компьютерной графики   БПФ   КГ   ДМ   ТПОИ   Теория сигналов  

Быстрое преобразование Фурье

Что такое эффект размазывания

В предыдущей главе мы рассматривали ситуацию, когда частота колебания равнялась m/T, где m - целое. Теперь рассмотрим ситуацию, когда это не так. Положим, что m = n + q, где n - целое и 0 < q < 1. Воспользуемся формулой (35). Поскольку первые несколько условий для нецелого m не выполняются, то остается последняя, самая сложная формула, помеченная словами "Для остальных k":

Подставим в эту формулу n + q вместо m и выполним упрощения, воспользовавшись формулой (34) и введя обозначение ρ = 2πj.

Итого:

  ,  ρ = 2πj    (37)

Теперь построим график функции, чтобы понять, как она себя ведет. Ниже показана трехмерная поверхность. По горизонтальной оси отложено k, по вертикальной |Xk| и по оси, уходящей вглубь плоскости, отложено q от 0.01 до 0.99.


Рис. 1.

На рисунке видно два ярко выраженных ребра. Первое из них всегда приходится на k = n и k = n + 1. Второе ребро получается в результате зеркального эффекта. Высота пика наименьшая в окрестности q = 0.5. А наибольшая в окрестности q = 1 и q = 0 - то есть при целочисленном m.

К сожалению, пик не является единственным ненулевым коэффициентом Фурье. Рядом с ним есть множество меньших, но не нулевых величин. Если при целочисленном m можно наблюдать единственную полоску, то при нецелом m = n + q эта полоска размазывается:


Рис. 2.

На рисунке приведена практическая ситуация. Это - ДПФ для звука, содержащегося в обычном WAV-файле. Высота синего штриха цвет соответствует |Xk|. Исходный сигнал содержал ноту "ля" второй октавы с частотой 440 гц и фазой в 90 градусов. ДПФ было выполнено для N = 1000. Однако частота дискретизации звука в WAV-файле составляла 44100 Гц, так что период дискретизации был равен T = 1000/44100 секунд и из формулы m/T = 440 получим m = 440*(1000/44100) = 9.97, то есть, не целое. В результате ярко выраженный пик окружают дополнительные ненулевые значения.

На следующем рисунке:


Рис. 3.

показана "хорошая" ситуация, когда частота исходного звука составляла 441 Гц, и m = 441*1000/44100 = 10, то есть целое. Вы видите только один ненулевой отсчет.

Этот эффект будем называть эффектом размазывания. Вы видите, что он определяет погрешность, с которой можно найти частоту исходного колебания. Погрешность равна 1/T. При достаточно большом отклонении m от целого эффект может быть очень заметен. Например ниже вы видите ДПФ для сигнала, соответствующего ноте "ля-бемоль":


Рис. 4.

Точнее можно попытаться определить параметры m, A и φ численными методами.

Для поиска φ следует учесть, что изменение A не повлияет на комплексную фазу (аргумент) коэффициентов Xk. В самом деле, мы можем представить коэффициенты в виде:

Xk = (A/2)Z(m,&phi)k,

где Z(m,&phi)k - комплексное число, не зависящее от действительного числа A, но зависящее от m и φ:

Z(m,&phi)k =

Также не зависит от A отношение коэффициентов Xk/Xl = Z(m,&phi)k/Z(m,&phi)l.

Это значит, что у нас есть две целевые функции, с помощью которых мы можем найти частоту m/T и фазу φ. Возьмем Xk, максимальное по модулю. Если соседние отсчеты Xk-1 и Xk+1 равны нулю, то у нас нет эффекта размазывания и параметры восстанавливаются так, как описано в предыдущей главе. На самом деле нам придется сравнивать не с нулем, а с некоторым малым числом, поскольку некоторая погрешность при вычислении ДПФ неизбежна.

Теперь, когда мы убедились в наличии эффекта размазывания, попробуем найти m и φ после чего восстановим A по формуле: A = |2Xk / Z(m,&phi)k|.

Сначала найдем два максимальных отсчета Xk и Xk+1. Теперь мы знаем, что искомое m лежит на интервале (k, k+1).

Для нахождения m и φ нужно численно решить систему уравнений:

|Z(m,&phi)k/Z(m,&phi)k+1| = |Xk/Xk+1|

Arg(Z(m,&phi)k) = Arg(Xk)

Здесь только две неизвестных - m и φ, неизвестная A исключена. Систему можно решить итерационно. Для этого сначала фиксируем φ и подбираем m, которое удовлетворяет первому уравнению системы. Потом - наоборот фиксируем найденное m и подбираем φ, которое удовлетворяет второму уравнению системы. Потом снова возавращаемся к первому уравнения - до тех пор, пока оба уравнения не окажутся сбалансированы с достаточной точностью.

Также существует метод вычисления частоты m, основанный на сопоставлении фаз. Стефан Бернси использует его в своем алгоритме транспонирования. Данный метод быстрее (не требует нескольких итераций для решения системы уравнений), однако требует двух преобразований Фурье для одного фрагмента с небольшим сдвигом на время ΔT. Этот алгоритм предполагает, что спектр не меняется за это короткое время - хотя бы в отношении частот.

Допустим, у нас есть фрагмент длиной T. Мы делаем преобразование Фурье не для всего этого фрагмента, а для двух перекрывающихся фрагментов [0, T - ΔT] и [ΔT, T]. Затем рассматриваем каждую получившуюся гармонику и ее фазу в первом и втором преобразовании. По величине сдвига фазы вносится поправка q и вычисляется точная частота (n + q)/T.

Наконец, эффект размазывания можно уменьшить, если применять оконные функции. Хотя в результате применения оконной функции, спектр может сильно исказиться, но все-таки форма пиков изменяется, сужается их "подошва". Вот пример для T = 1 сек, N = 44100, m/T = 440.2 Гц, φ = 0. Слева - спектр с "размазыванием", полученный обычным ДПФ. Справа - с применением оконной функции Хамминга.

Основные алгоритмы компьютерной графики   БПФ   КГ   ДМ   ТПОИ   Теория сигналов  

Ю. Болдырев: Путин планово разрушает социальную сферу и ведет геноцид русского народа (05.03.2018)

ВСЕ ВИДЕО
Знаете ли Вы, что диаграмма классов, Class diagram - это методология объектно-ориентированного проектирования, предназначенная для представления статической структуры модели системы в терминологии классов объектно-ориентированного программирования.

НОВОСТИ ФОРУМАФорум Рыцари теории эфира
Рыцари теории эфира
 20.04.2018 - 20:37: СОВЕСТЬ - Conscience -> РУССКИЙ МИР - Карим_Хайдаров.
28.03.2018 - 18:15: СОВЕСТЬ - Conscience -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
22.03.2018 - 09:33: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Ю.Ю. Болдырева - Карим_Хайдаров.
04.10.2017 - 15:26: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ - Economy and Finances -> ПРОБЛЕМА КРИМИНАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИКИ - Карим_Хайдаров.
04.10.2017 - 05:02: Беседка - Chatter -> "Зенит"ы с "Протон"ами будут падать - Карим_Хайдаров.
03.10.2017 - 18:16: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от О.Н. Четвериковой - Карим_Хайдаров.
03.10.2017 - 07:24: ЦИТАТЫ ЧУЖИХ ФОРУМОВ - Outside Quotings -> ЗА НАМИ БЛЮДЯТ - Карим_Хайдаров.
03.10.2017 - 05:48: Беседка - Chatter -> WHO IS WHO - КТО ЕСТЬ КТО - Карим_Хайдаров.
02.10.2017 - 19:04: АСТРОФИЗИКА - Astrophysics -> Апериодическая комета C/2014 Q2 Lovejoy - Карим_Хайдаров.
02.10.2017 - 14:57: СОВЕСТЬ - Conscience -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
01.10.2017 - 13:58: Беседка - Chatter -> ЭПИСТОЛЯРНАЯ ФИЗИКА - Карим_Хайдаров.
01.10.2017 - 07:23: СОВЕСТЬ - Conscience -> НАСАтые астропиндосы - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research Institution home page

Боровское исследовательское учреждение - Bourabai Research Bourabai Research Institution