Основные алгоритмы компьютерной графики   БПФ   КГ   ДМ   ТПОИ   Теория сигналов  

Быстрое преобразование Фурье

Преобразование БПФ для N=PQ

Пусть N = PQ. Этот представляет собой более общий случай, чем рассмотренный в предыдущей главе. Теперь не требуется, чтобы P или Q были степенями двойки.

Напомним основную формулу:

    (1).

Рассмотрим формулу:

    (41).

Эта формула эквивалентна формуле (1). В самом деле:

Двойная сумма по pQ + q - это все равно, что одинарная сумма по n, просто порядок слагаемых другой.

Вернемся к формуле (41). В скобках там стоит обычное прямое БПФ, только не для всех xn, а для последовательности из P штук, взятых с шагом Q. Количество последовательностей равно Q. Элементы последовательности выбираются формулой xpQ + q, где p - номер элемента, q - номер последовательности.

Пусть мы умеем вычислять БПФ для P элементов за время Z(P). Нам понадобится вычислить Q таких БПФ, на что потратим время O(QZ(P)). Тем самым мы получим все множители в скобках из формулы (41). После этого надо будет вычислить N элементов Xk, каждый из которых потребует O(Q) действий, итого потребуется еще O(NQ) действий, а в сумме - O(QZ(P) + QN) действий.

В предыдущем алгоритме P - было степенью двойки, а для такого числа элементов мы умеем вычислять БПФ за O(Plog2P) шагов, т.е. Z(P) = Plog2P, и получится O(QZ(P) + QN) = O(QPlog2P + QN) = O(Nlog2P + N2/P) действий. Тем самым, мы несколько более простым путем получим ту же оценку сложности алгоритма.

Если P - не степень двойки, мы умеем вычислять ПФ за O(P2) шагов, т.е. Z(P) = P2, и получится O(QZ(P) + QN) = O(QP2 + QN) = O(N2/Q + N2/P) действий. Если P и Q достаточно велики, это лучше, чем O(N2).

Основные алгоритмы компьютерной графики   БПФ   КГ   ДМ   ТПОИ   Теория сигналов  

Знаете ли Вы, что объект, Object - Объект в программировании - это программный модуль:
- объединяющий в себе данные (свойства) и операции над ними (методы);
- обладающий свойствами наследования, инкапсуляции и полиморфизма. А объекты взаимодействуют между собой, посылая друг другу сообщения.

Bourabai Research Institution home page

Боровское исследовательское учреждение - Bourabai Research Bourabai Research Institution