к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА

Глоссарий по физике

А   Б   В   Г   Д   Е   Ж   З   И   К   Л   М   Н   О   П   Р   С   Т   У   Ф   Х   Ц   Ч   Ш   Э   Ю   Я  

Геодезическая линия

Геодезическая линия (от греч. gеоdaisia, букв.- деление Земли) - геом. понятие, обобщающее представление о прямой линии в евклидовом пространстве на случай пространств более общего вида (искривлённых поверхностей в евклидовом пространстве, римановых пространств, дифференцируемых многообразий с линейной связностью и т. п.). Конкретное определение геодезической линии зависит от геометрической структуры рассматриваемого пространства. В случае дифференцируемых многообразий с линейной связностью геодезической линии - кривая 1119922-298.jpg, вдоль к-рой касательный вектор 1119922-299.jpg переносится параллельно (1119922-300.jpg=1,2, . . ., N, где N - размерность пространства). При спец. выборе параметра 1119922-301.jpg (аффинный параметр на геодезической линии) условие параллельного переноса 1119922-302.jpg принимает вид

1119922-303.jpg

где точкой с запятой обозначена ковариантная производная .С помощью коэф. связности 1119922-304.jpg ур-ние (1) переписывается в форме

1119922-305.jpg

В римановом пространстве с метрикой gmn и элементом длины 1119922-306.jpg коэф. связности (Кристоффеля символы)выражаются через 1119922-307.jpg след. образом:

1119922-308.jpg

В этом случае локально эквивалентное определение геодезической линии можно ввести с помощью вариац. принципа. Под геодезической линией, соединяющей точки P1 и P2 риманова пространства, понимается кривая экстремальной длины. Условие экстремальности функционала

1119922-309.jpg

записывается в виде ур-ния Эйлера - Лагранжа

1119922-310.jpg

что с учётом соотношения (3) эквивалентно условию параллельного переноса касательного вектора (2). T. о., в малой области риманова пространства геодезическая линии является не только "прямейшей", но и кратчайшей кривой между двумя точками. Аналогично определяются геодезические линии на искривлённых поверхностях, вложенных в евклидово пространство большей размерности. Поведение геодезической линии в римановом пространстве аналогично поведению прямых в евклидовом пространстве лишь в малой области. При сравнении с кривыми, не близкими к данной геодезической линии, последняя может и не быть кратчайшей.

Понятие геодезической линии используется в физ. теориях. Так, движение консервативной механич. системы с конечным числом степеней свободы описывается геодезической линией в некотором специально подобранном римановом пространстве. Аналогичным образом можно описать распространение световых лучей в среде с показателем преломления, зависящим от координат.

В псевдоримановом пространстве общей теории относительности (ОТО) существуют геодезические линии трёх типов: времениподобные 1119922-311.jpg , изотропные, или нулевые 1119922-312.jpg , и пространственноподобные (1119922-313.jpg<0, 1119922-314.jpg=0, 1, 2, 3). Времениподобные геодезические линии являются мировыми линиями пробных точечных частиц с отличной от нуля массой покоя, движущихся в гравитац. поле, определяющем метрику пространства-времени 1119922-315.jpg. Времениподобные геодезические линии соответствуют максимуму длины кривой. Изотропные геодезические линии соответствуют движению фотонов и др. безмассовых частиц. Пространственноподобные геодезические линии не соответствуют движению реальных частиц, однако они важны для понимания геом. свойств самого пространства-времени. Второй член в ур-нии (2) для геодезической линии в контексте ОТО можно интерпретировать как гравитац. силу, действующую на материальную точку. В силу эквивалентности тяготения и инерции эта величина не имеет тензорного характера и может быть обращена в пуль вдоль нек-рой кривой спец. выбором системы координат (свободно падающая система отсчёта). При этом взаимное положение двух близких геодезических линий не зависит от системы координат и может быть использовано для описания "истинного" действия гравитац. поля. Для двух близких геодезических линий 1119922-316.jpg и 1119922-317.jpg1119922-318.jpgиз (2) получим

1119922-319.jpg

где 1119922-320.jpg - абс. производная, 1119922-321.jpg - кривизны тензор .T. о., хотя свободно падающая в гравитац. поле частица покоится в падающей вместе с ней системе отсчёта, другая, близкая к ней частица движется относительно первой. Этот пример иллюстрирует локальный характер принципа эквивалентности сил тяготения и инерции.

Ряд свойств геодезических линий в пространстве-времени ОТО удаётся получить, используя ур-ния Эйнштейна совместно с нек-рыми предположениями относительно свойств создающей гравитац. поле материи. Напр., если плотность энергии неотрицательна во всех физически допустимых системах отсчёта, то поперечное сечение пучка геодезических линий S1119922-322.jpg(1119922-323.jpg - аффинный параметр вдоль пучка) удовлетворяет условию 1119922-324.jpg . Отсюда следует, что если в нек-рой точке производная 1119922-325.jpg стала отрицательной, то через конечный промежуток значений1119922-326.jpg сечение S обратится в нуль (фокальная точка). Подобные рассуждения лежат в основе т. н. теорем о сингулярностях Хокинга - Пенроуза.

Литература по геодезическим линиям

  1. Громол Д., Клингенберг В., Mейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., M., 1971;
  2. Хокинг С., Эллис Дж., Крупномасштабная структура пространства-времени, пер. с англ., M., 1977;
  3. Mизнер Ч., Торн К., Уилер Дж., Гравитация, пер. с англ., т. 1-3, M., 1977;
  4. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., M., 1985;
  5. Кобаяси Ш., Hомидзу К., Основы дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 1-2, M., 1981.

Д. В. Гольцов

к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

Знаете ли Вы, что только в 1990-х доплеровские измерения радиотелескопами показали скорость Маринова для CMB (космического микроволнового излучения), которую он открыл в 1974. Естественно, о Маринове никто не хотел вспоминать. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

Bourabai Research Institution home page

Боровское исследовательское учреждение - Bourabai Research Bourabai Research Institution