к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА

Глоссарий по физике

А   Б   В   Г   Д   Е   Ж   З   И   К   Л   М   Н   О   П   Р   С   Т   У   Ф   Х   Ц   Ч   Ш   Э   Ю   Я  

Лоренца система

Лоренца система - система трёх нелинейных дифференц. ур-ний первого порядка:

2554-181.jpg

решения к-рой в широкой области параметров являются нерегулярными функциями времени и по мн. своим характеристикам неотличимы от случайных. Л. с. была получена Э. Лоренцем (Е. Lorenz) из ур-ний гидродинамики как модель для описания тепловой конвекции в горизонтальном слое жидкости, подогреваемой снизу (Рr - Прандтля число, 2554-189.jpg - приведённое Рэ-лея число, b - определяется выбором моды в Фурье-разложении поля скорости и температуры).

2554-182.jpg

Рис. 1. Иллюстрация последовательных бифуркаций в системе Лоренца при увеличении параметра r: а) 2554-183.jpg ; б) 2554-184.jpg; в)2554-185.jpg г) 2554-186.jpg д) 2554-187.jpg е)2554-188.jpg


Л. с.- один из примеров динамической системы, имеющей простой физ. смысл; она демонстрирует стохастич. поведение системы. В фазовом пространстве этой системы в области параметров, указанных на рис. 1, существует странный аттрактор ,движение изображающей точки на к-ром соответствует "случайному" - турбулентному течению жидкости при тепловой конвекции.

2554-190.jpg

Рис. 2. Конвективная петля - физическая модель, для которой выводятся уравнения Лоренца.

Л. с. (при b=l) описывает, в частности, движение жидкости в конвективной петле, расположенной в вертикальной плоскости в однородном поле тяжести тороидальной полости, заполненной жидкостью (рис. 2). На стенках полости поддерживается не зависящая от времени (но зависящая от угла 2554-191.jpg) темп-pa Т(2554-192.jpg); ниж. часть петли теплее верхней. Ур-ния движения жидкости в конвективной петле сводятся к Л. с., где x(t] - скорость движения жидкости, у (t) - темп-pa в точке N, a z(t) - темп-pa в точке М при больших t. С ростом г характер движения жидкости меняется: сначала (при г<1) жидкость неподвижна, далее (при2554-193.jpg ) устанавливается циркуляция с пост. скоростью (либо по часовой стрелке, либо против); при ещё больших r всё течение становится чувствительным к малым изменениям нач. условий, скорость циркуляции жидкости меняется уже нерегулярно: жидкость вращается иногда по часовой стрелке, иногда - против.

При обычно используемых значениях Pr=10, b=8/3 Л. с. обладает след. свойствами: ур-ния Л. с. инварианты относительно преобразования 2554-194.jpg, 2554-195.jpg2554-196.jpg фазовый объём сокращается с пост. скоростью

2554-197.jpg

за единицу времени объём сокращается в2554-198.jpg 106 раз. С ростом г в Л. с. происходят след. осн. бифуркации. 1) При 2554-199.jpg единственным состоянием равновесия является устойчивый узел в начале координат О (О, О, 0). 2) При 2554-200.jpg , где r1=13,92, Л. с. кроме упомянутого тривиального (О)имеет ещё два состояния равновесия 2554-201.jpg, 2554-202.jpg. Состояние равновесия О является седлом, имеющим двумерное устойчивое многообразие и одномерное неустойчивое, состоящее из О и двух сепаратрис 2554-203.jpg и2554-204.jpg, стремящихся к2554-205.jpg и 2554-206.jpg (рис. 1, а). 3) При r=r1 каждая из сепаратрис становится двоякоасимпто-тической к седлу О (рис. 1, б). При переходе r через r1 из замкнутых петель сепаратрис рождаются неустойчивые (седловые) периодич. движения - предельные циклы L1 и L2. Вместе с этими неустойчивыми циклами рождается и очень сложно организованное предельное множество; оно, однако, не является притягивающим (аттрактором), и при 2554-207.jpg(рис. 1, в), где r2=24,06, все траектории по-прежнему стремятся к2554-208.jpg. Эта ситуация отличается от предшествующей тем, что теперь сепаратрисы2554-209.jpg _ и 2554-210.jpgидут к "не своим" состояниям равновесия 2554-211.jpg и 2554-212.jpgсоответственно. 4) При 2554-213.jpg, гдо 2554-214.jpg = 24,74, в Л. с. наряду с устойчивыми состояниями равновесия2554-215.jpgсуществует ещё притягивающее множество, характеризующееся сложным поведением траекторий,- аттрактер Лоренца (рис. 1, д и рис. 3). 5) При 2554-216.jpg седловые циклы L1 и L2 стягиваются к состояниям равновесия 2554-217.jpg и 2554-218.jpg, к-рые при 2554-219.jpgтеряют устойчивость, и при 2554-220.jpg единственным притягивающим мно-


жеством Л. с. является аттрактор Лоренца. Т. о., если стремить2554-222.jpg к 2554-223.jpg со стороны меньших значений, то стохастичность в Л. с. возникает сразу, скачком, т. е. имеет место жёсткое возникновение стохастичности.

2554-221.jpg

Рис. 3. Траектория, воспроизводящая аттрактор Лоренца (выходит из начала координат); горизонтальная плоскость соответствует r = = 27, r=28.

К Л. с. сводятся не только ур-ния, описывающие конвективные движения жидкости, но и др. физ. модели (трёхуровневый лазер, дисковое динамо и т. д.).

Литература по системе Лоренца

  1. Lorenz E., Deterministic nonperiodic flow, "J. Atmos. Sci.", 1963, v. 20, p. 130; в рус. пер., в кн.: Странные аттракторы, М., 1981, с. 88;
  2. Гапонов - Грехов А. В., Рабинович М. И., Хаотическая динамика простых систем, "Природа", 1981, № 2, с. 54;
  3. Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П., О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца, "Тр. Московского матем. общества", 1982, т. 44, с. 150;
  4. Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, М., 1984.

В. Г. Шехов

к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

Знаете ли Вы, как разрешается парадокс Ольберса?
(Фотометрический парадокс, парадокс Ольберса - это один из парадоксов космологии, заключающийся в том, что во Вселенной, равномерно заполненной звёздами, яркость неба (в том числе ночного) должна быть примерно равна яркости солнечного диска. Это должно иметь место потому, что по любому направлению неба луч зрения рано или поздно упрется в поверхность звезды.
Иными словами парадос Ольберса заключается в том, что если Вселенная бесконечна, то черного неба мы не увидим, так как излучение дальних звезд будет суммироваться с излучением ближних, и небо должно иметь среднюю температуру фотосфер звезд. При поглощении света межзвездным веществом, оно будет разогреваться до температуры звездных фотосфер и излучать также ярко, как звезды. Однако в дело вступает явление "усталости света", открытое Эдвином Хабблом, который показал, что чем дальше от нас расположена галактика, тем больше становится красным свет ее излучения, то есть фотоны как бы "устают", отдают свою энергию межзвездной среде. На очень больших расстояниях галактики видны только в радиодиапазоне, так как их свет вовсе потерял энергию идя через бескрайние просторы Вселенной. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

Bourabai Research Institution home page

Боровское исследовательское учреждение - Bourabai Research Bourabai Research Institution