к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА

Глоссарий по физике

А   Б   В   Г   Д   Е   Ж   З   И   К   Л   М   Н   О   П   Р   С   Т   У   Ф   Х   Ц   Ч   Ш   Э   Ю   Я  

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов - метод оценивания неизвестных параметров теоретич. моделей по косвенным измерениям при параметрич. анализе данных (см. Анализ данных ).H. к. м. был предложен К. Гауссом (С. GauB, 1809) для задач геодезии и астрономии в след. формулировке. Пусть существует модель явления, в к-рой x - вектор аргументов, а - вектор неизвестных параметров. Для определения параметров а проводятся косвенные измерения, т. е. измеряются не сами параметры a, a функции этих параметров f (х|а), вычисляемые согласно модели. Благодаря ошибкам измерения en результаты измерения Yn равны

3048-13.jpg

Относительно en предполагается, что они являются чисто случайными величинами, т. е. при многократном проведении измерений их ср. значения равны нулю, M(en) = 0, M(Yn) = f(xn|a), а также что они некорре-лированы и их дисперсии равны s2n , M(enem)= s2ndnm. Согласно Гауссу, в качестве оценки а (оценки H. к. м.) следует взять величину а^, минимизирующую выражение

3048-14.jpg

При этом подразумевается, что число измерений N>=I, где I - число неизвестных параметров ai.

Обобщением метода на случай коррелиров. ошибок измерения, M(enem) = Snm, является поиск величины 3048-15.jpg из условия минимума квадратичной формы

3048-16.jpg

H. к. м. используют при обработке результатов наблюдений, в разл. задачах регрессионного анализа и т. д. Напр., в физике элементарных частиц его применяют для оценки импульса частицы по измерениям координат точек её траектории в магн. поле и оценки параметров плотности распределения р(х|а)случайной величины c по числу событий Yn в ячейках гистограммы.

Оптимальность оценки H. к. м. Использование метода обусловлено оптим. свойствами его оценки для моделей с линейной зависимостью M(Yn)= f(xn|a)от параметров а. Рассмотрим их. Итак, пусть

3048-17.jpg

Выражение (1) в этом случае кратко записывается в виде

3048-18.jpg

где T - символ транспонирования. В предположении, что ранг матрицы А больше или равен I, оценка H. к. м. равна

3048-19.jpg

Из (3) следует, что 3048-20.jpg является линейной оценкой, т. е. линейной функцией измерений Yn. Если усреднить (3) по ошибкам измерения, то оказывается, что

3048-21.jpg

т. е. оценка является несмещённой.

Благодаря ошибкам измерения 3048-22.jpg имеет шумовую составляющую, к-рая характеризуется матрицей ошибок (ковариационной матрицей):

3048-23.jpg

Диагональные элементы Кii являются дисперсиями ошибок, содержащихся в 3048-24.jpg.

В исследование оптимальности H. к. м. внёс вклад А. А. Марков, к-рый в 1900 доказал след. утверждение (теорема Гаусса - Маркова): среди всех линейных несмещённых оценок минимальными дисперсиями Кii обладает оценка (3), т. е. оценка Н. к. м.

В том случае, когда S = s23048-25.jpg, где s2 - неизвестный параметр, 3048-26.jpg - известная матрица, несмещённой оценкой s2 является величина

3048-27.jpg

Величину N - I наз. числом степеней свободы.

Подчеркнём, что перечисленные оптим. свойства оценки H. к. м. не зависят от вида распределения вектора e, а лишь от предположения справедливости линейной связи (2).

Иногда оказывается, что между искомыми параметрами аi существует связь, отражающая физ. закономерность:

3048-28.jpg

Напр., импульсы всех частиц в точке взаимодействия удовлетворяют закону сохранения 4-импульса. Учёт такой априорной информации приводит к уменьшению ошибок оценок параметров. Если связи (4) линейны, т. е.

3048-29.jpg

то оценка 3048-30.jpg H. к. м., удовлетворяющая (5), имеет вид

3048-31.jpg

где

3048-32.jpg

Можно убедиться, что оценка (6) является несмещённой, а для её матрицы ошибок KG выполняется

3048-33.jpg

т. к. D - положительно определённая матрица.

В случае нелинейных связей (4) задача построения оценки H. к. м., удовлетворяющей (4), существенно усложняется и решается численными методами.

Разновидности H. к. м. Важным частным случаем H. к. м. является c2-метод, к-рый используется при работе с данными, сгруппированными в гистограмму. В этом случае Yn есть числа событий в ячейках гистограммы. При больших значениях Yn их можно рассматривать как независимые случайные величины, распределённые по нормальному закону. Если изучаемое распределение есть р(х|а), где x - измеряемая случайная величина, а - вектор неизвестных параметров, то ср. число событий в ячейке гистограммы 3048-34.jpg(а) равно 3048-35.jpg (M - полное число событий), а дисперсия Yn равна 3048-36.jpg(а). Тогда, согласно H. к. м., оценка а должна находиться из минимума выражения

3048-37.jpg

Для упрощения задачи минимизации (7) 3048-38.jpg(а) в знаменателе (7) часто заменяют на Yn (модифицированный c2-метод). Своё назв. метод получил по той причине, что при больших Yn (приближение нормального распределения) Ф(а = 3048-39.jpg) распределено по c2-pаспрe-делению с числом степеней свободы N - I - 1.

Если функции f(x|a)или р(х|а)нелинейны, то поиск оценки а осуществляется одним из методов численной минимизации (1) или (7). Тем не менее можно получить ряд асимптотич. свойств (при N 3048-40.jpg ) оценки H. к. м.

Оценка H. к. м. состоятельна, т. е. при N3048-41.jpg один из корней системы ур-ний дФ/дai = 0 сходится к точному значению а. Оценка H. к. м. асимптотически распределена по нормальному закону. Однако матрица ошибок 3048-42.jpg больше обратной к информац. матрице (см. Максимального правдоподобия метод), т. е. оценка H. к. м. не является эффективной. При конечных N оценка H. к. м. является смещённой и неэффективной. Эфф. способом изучения её свойств является Монте-Карло метод: задаваясь значением а из области возможных значений, получают выборку Yn; по Yn находят оценку 3048-43.jpg и строят выборочные среднее 3048-44.jpg и матрицу ошибок (вообще говоря, выборочное распределение). Отметим, что на практике широко используют приближённое выражение для матрицы ошибок

3048-45.jpg

В том частном случае, когда распределение Yn является многомерным нормальным распределением, кова-риац. матрица к-рого не зависит от a, H. к. м. совпадает с методом макс. правдоподобия. В этом случае оценка H. к. м. обладает оптим. свойствами, присущими оценке максимума правдоподобия. Кроме того, F(a = 3048-46.jpg) распределено по c2-распределению с числом степеней свободы N - I.

Для нелинейных f(x|aр(х|а)широкое использование H. к. м. обусловлено двумя причинами: 1) метод не требует знания функции распределения Yn, а лишь среднего M(Yn) = f(xn|a)и матрицы ошибок S; 2) задача минимизации квадратичных форм (1) и (7) значительно проще задачи минимизации функций более общего вида, к-рые появляются в др. методах оценивания.

Литература по методу наименьших квадратов

  1. Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений, 2 изд., M., 1962;
  2. Клепиков H. П., Соколов С. H., Анализ и планирование экспериментов методом максимума правдоподобия, M., 1964;
  3. Xудсон Д., Статистика для физиков, пер. с англ., 2 изд., M., 1970;
  4. Pао С. Р., Линейные статистические методы и их применения, пер. с англ., M., 1968;
  5. Статистические методы в экспериментальной физике, пер. с англ., M., 1976.

В. П. Жигунов, С. В. Клименко

к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

поделиться этой страницей в соцсети
VK
OK

(время поиска примерно 20 секунд)

Знаете ли Вы, что только в 1990-х доплеровские измерения радиотелескопами показали скорость Маринова для CMB (космического микроволнового излучения), которую он открыл в 1974. Естественно, о Маринове никто не хотел вспоминать. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Форум Рыцари теории эфира


Рыцари теории эфира
 16.01.2021 - 08:30: СОВЕСТЬ - Conscience -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
16.01.2021 - 08:30: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
16.01.2021 - 08:30: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Александра Флоридского - Карим_Хайдаров.
16.01.2021 - 07:55: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Анны ван Дэнски - Карим_Хайдаров.
15.01.2021 - 10:16: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ПРАВОСУДИЯ.НЕТ - Карим_Хайдаров.
15.01.2021 - 09:03: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ФАЛЬСИФИКАЦИЯ ИСТОРИИ - Карим_Хайдаров.
15.01.2021 - 09:03: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Андрея Фурсова - Карим_Хайдаров.
15.01.2021 - 08:20: ТЕОРЕТИЗИРОВАНИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - Theorizing and Mathematical Design -> ФУТУРОЛОГИЯ - прогнозы на будущее - Карим_Хайдаров.
15.01.2021 - 08:19: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Пламена Паскова - Карим_Хайдаров.
15.01.2021 - 07:50: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ - Economy and Finances -> КОЛЛАПС МИРОВОЙ ФИНАНСОВОЙ СИСТЕМЫ - Карим_Хайдаров.
15.01.2021 - 07:49: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ - Economy and Finances -> ПРОБЛЕМА КРИМИНАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИКИ - Карим_Хайдаров.
14.01.2021 - 08:30: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ПРОБЛЕМЫ МЕДИЦИНЫ - Карим_Хайдаров.
Боровское исследовательское учреждение - Bourabai Research Bourabai Research Institution