к оглавлению

Преобразования типа сигналов

Формы математического отображения сигналов, особенно на этапах их первичной регистрации (детектирования) и в прямых задачах описания геофизических полей и физических процессов, как правило, отражают их физическую природу. Однако последнее не является обязательным и зависит от методики измерений и технических средств детектирования, преобразования, передачи, хранения и обработки сигналов. На разных этапах процессов получения и обработки информации как материальное представление сигналов в устройствах регистрации и обработки, так и формы их математического описания при анализе данных, могут изменяться путем соответствующих операций преобразования типа сигналов.

Операция дискретизации (discretization) осуществляет преобразование аналоговых сигналов (функций), непрерывных по аргументу, в функции мгновенных значений сигналов по дискретному аргументу. Дискретизация обычно производится с постоянным шагом по аргументу (равномерная дискретизация), при этом s(t) Ю s(nDt), где значения s(nDt) представляют собой отсчеты функции s(t) в моменты времени t = nDt, n = 0, 1, 2,..., N. Частота, с которой выполняются замеры аналогового сигнала, называется частотой дискретизации. В общем случае, сетка отсчетов по аргументу может быть произвольной, как, например, s(t) Ю s(tk), k=1, 2, …, K, или задаваться по определенному закону. В результате дискретизации непрерывный (аналоговый) сигнал переводится в последовательность чисел.

Операция восстановления аналогового сигнала из его дискретного представления обратна операции дискретизации и представляет, по существу, интерполяцию данных.

Дискретизация сигналов может приводить к определенной потере информации о поведении сигналов в промежутках между отсчетами. Однако существуют условия, определенные теоремой Котельникова-Шеннона, согласно которым аналоговый сигнал с ограниченным частотным спектром может быть без потерь информации преобразован в дискретный сигнал, и затем абсолютно точно восстановлен по значениям своих дискретных отсчетов.

Как известно, любая непрерывная функция может быть разложена на конечном отрезке в ряд Фурье, т.е. представлена в спектральной форме - в виде суммы ряда синусоид с кратными (нумерованными) частотами с определенными амплитудами и фазами. У относительно гладких функций спектр быстро убывает (коэффициенты модуля спектра быстро стремятся к нулю). Для представления "изрезанных" функций, с разрывами и "изломами", нужны синусоиды с большими частотами. Говорят, что сигнал имеет ограниченный спектр, если после определенной частоты F все коэффициенты спектра равны нулю, т.е. сигнал представляется в виде конечной суммы ряда Фурье.

Теоремой Котельникова-Шеннона устанавливается, что если спектр сигнала ограничен частотой F, то после дискретизации сигнала с частотой не менее 2F можно восстановить исходный непрерывный сигнал по полученному цифровому сигналу абсолютно точно. Для этого нужно выполнить интерполяцию цифрового сигнала "между отсчетами" специальной функцией (Котельникова-Шеннона).

На практике эта теорема имеет огромное значение. Например, известно, что диапазон звуковых сигналов, воспринимаемых человеком, не превышает 20 кГц. Следовательно, при дискретизации записанных звуковых сигналов с частотой не менее 40 кГц мы можем точно восстановить исходный аналоговый сигнал по его цифровым отсчетам, что и выполняется в проигрывателях компакт-дисков для восстановления звука. Частота дискретизации звукового сигнала при записи на компакт-диск составляет 44100 Гц.

Операция квантования или аналого-цифрового преобразования (АЦП; английский термин Analog-to-Digital Converter, ADC) заключается в преобразовании дискретного сигнала s(tn) в цифровой сигнал s(n) = sn » s(tn), n = 0, 1, 2,.., N, как правило, кодированный в двоичной системе счисления. Процесс преобразования отсчетов сигнала в числа называется квантованием по уровню (quantization), а возникающие при этом потери информации за счет округления – ошибками или шумами квантования (quantization error, quantization noise).

При преобразовании аналогового сигнала непосредственно в цифровой сигнал операции дискретизации и квантования совмещаются.

Операция цифро-аналогового преобразования (ЦАП; Digital-to-Analog Converter, DAC) обратна операции квантования, при этом на выходе регистрируется либо дискретно-аналоговый сигнал s(tn), который имеет ступенчатую форму (рис. 1.2.4), либо непосредственно аналоговый сигнал s(t), который восстанавливается из s(tn), например, путем сглаживания.

Так как квантование сигналов всегда выполняется с определенной и неустранимой погрешностью (максимум - до половины интервала квантования), то операции АЦП и ЦАП не являются взаимно обратными с абсолютной точностью.

Алиасинг. А что произойдет, если спектр аналогового сигнала был неограниченным или имел частоту, выше частоты дискретизации?

Предположим, что при записи акустического сигнала оркестра в помещении от какого-то устройства присутствует ультразвуковой сигнал с частотой 30 кГц. Запись выполняется с дискретизацией сигнала на выходе микрофона с типовой частотой 44.1 кГц. При прослушивании такой записи с использованием ЦАП мы услышим шумовой сигнал на частоте 30 – 44.1/2 » 8 кГц. Восстановленный сигнал будет выглядеть так, как если бы частоты, лежащие выше половины частоты дискретизации, "зеркально" от нее отразились в нижнюю часть спектра и сложились с присутствующими там гармониками. Это так называемый эффект появления ложных (кажущихся) частот (aliasing). Эффект аналогичен всем известному эффекту обратного вращения колес автомобиля на экранах кино и телевизоров, когда скорость их вращения начинает превышать частоту смены кадров. Природу эффекта можно наглядно видеть на рис. 1.2.5. Аналогично в главный частотный диапазон дискретных сигналов "отражаются" от частоты дискретизации и все высокочастотные шумы, присутствующие в исходном аналоговом сигнале.

Для предотвращения алиасинга следует повышать частоту дискретизации или ограничить спектр сигнала перед оцифровкой фильтрами низких частот (НЧ-фильтры, low-pass filters), которые пропускают без изменения все частоты, ниже заданной, и подавляют в сигнале частоты, выше заданной. Эта граничная частота называется частотой среза (cutoff frequency) фильтра. Частота среза анти-алиасинговых фильтров устанавливается равной половине частоты дискретизации. В реальные АЦП почти всегда встраивается анти-алиасинговый фильтр.

Графическое отображение сигналов общеизвестно и особых пояснений не требует. Для одномерных сигналов график – это совокупность пар значений {t, s(t)} в прямоугольной системе координат (рис. 1.2.1 – 1.2.4). При графическом отображении дискретных и цифровых сигналов используется либо способ непосредственных дискретных отрезков соответствующей масштабной длины над осью аргумента, либо способ огибающей (плавной или ломанной) по значениям отсчетов. В силу непрерывности геофизических полей и, как правило, вторичности цифровых данных, получаемых дискретизацией и квантованием аналоговых сигналов, второй способ графического отображения будем считать основным.

Тестовые сигналы (test signal). В качестве тестовых сигналов, которые применяются при моделировании и исследовании систем обработки данных, обычно используются сигналы простейшего типа: гармонические синус-косинусные функции, дельта-функция и функция единичного скачка.

Дельта-функция или функция Дирака. По определению, дельта-функция описывается следующими математическими выражениями (в совокупности):

d(t-t) = 0 при t t,

d(t-t) dt = 1.

Функция d(t-t) не является дифференцируемой, и имеет размерность, обратную размерности ее аргумента, что непосредственно следует из безразмерности результата интегрирования. Значение дельта-функции равно нулю везде за исключением точки t, где она представляет собой бесконечно узкий импульс с бесконечно большой амплитудой, при этом площадь импульса равна 1.

Дельта-функция является полезной математической абстракцией. На практике такие функции не могут быть реализованы с абсолютной точностью, так как невозможно реализовать значение, равное бесконечности, в точке t = t на аналоговой временной шкале, т.е. определенной по времени также с бесконечной точностью. Но во всех случаях, когда площадь импульса равна 1, длительность импульса достаточно мала, а за время его действия на входе какой-либо системы сигнал на ее выходе практически не изменяется (реакция системы на импульс во много раз больше длительности самого импульса), входной сигнал можно считать единичной импульсной функцией со свойствами дельта - функции.

При всей своей абстрактности дельта - функция имеет вполне определенный физический смысл. Представим себе импульсный сигнал прямоугольной формы П(t-t ) длительностью q , амплитуда которого равна 1/q , а площадь соответственно равна 1. При уменьшении значения длительности q импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, равную 1, и возрастает по амплитуде. Предел такой операции при q Ю 0 и носит название дельта - импульса. Этот сигнал d(t-t) сосредоточен в одной координатной точке t = t, конкретное амплитудное значение сигнала не определено, но площадь (интеграл) остается равной 1. Это не мгновенное значение функции в точке t = t, а именно импульс (импульс силы в механике, импульс тока в электротехнике и т.п.) – математическая модель короткого действия, значение которого равно 1.

Дельта-функция обладает фильтрующим свойством. Суть его заключается в том, что если дельта-функция d(t-t) входит под интеграл какой-либо функции в качестве множителя, то результат интегрирования равен значению подынтегральной функции в точке t расположения дельта-импульса, т.е.:

f(t) d(t-t) dt = f(t).

Интегрирование в этом выражении может ограничиваться ближайшими окрестностями точки t.

Функция единичного скачка или функция Хевисайда иногда называется также функцией включения. Полное математическое выражение функции:

При моделировании сигналов и систем значение функции скачка в точке t=0 очень часто принимают равным 1, если это не имеет принципиального значения.

Функция единичного скачка используется при создании математических моделей сигналов конечной длительности. При умножении любой произвольной функции, в том числе периодической, на прямоугольный импульс, сформированный из двух последовательных функций единичного скачка

s(t) = s (t) - s (t-T),

из нее вырезается участок на интервале 0-Т, и обнуляются значения функции за пределами этого интервала.

Функция Кронекера. Для дискретных и цифровых систем разрешающая способность по аргументу сигнала определяется интервалом его дискретизации Dt. Это позволяет в качестве единичного импульса использовать дискретный интегральный аналог дельта-функции - функцию единичного отсчета d(kDt-nDt), которая равна 1 в координатной точке k = n, и нулю во всех остальных точках. Функция d(kDt-nDt) может быть определена для любых значений Dt = const, но только для целых значений координат k и n, поскольку других номеров отсчетов в дискретных функциях не существует.

Математические выражения d(t-t) и d(kDt-nDt) называют также импульсами Дирака и Кронекера. Однако, применяя такую терминологию, не будем забывать, что это не просто единичные импульсы в координатных точках t и nDt, а полномасштабные импульсные функции, определяющие как значения импульсов в определенных координатных точках, так и нулевые значения по всем остальным координатам, в пределе от -Ґ до Ґ.

к оглавлению


Знаете ли Вы, что, как ни тужатся релятивисты, CMB (космическое микроволновое излучение) - прямое доказательство существования эфира, системы абсолютного отсчета в космосе, и, следовательно, опровержение Пуанкаре-эйнштейновского релятивизма, утверждающего, что все ИСО равноправны, а эфира нет. Это фоновое излучение пространства имеет свою абсолютную систему отсчета, а значит никакого релятивизма быть не может. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

Bourabai Research Institution home page

Боровское исследовательское учреждение - Bourabai Research Bourabai Research Institution