Реальная физика   ТОЭЭ   ТЭЦ   РЭКТ   ТПОИ   ЭИ  

Теория автоматического управления

Динамический режим САУ

1. Динамический режим САУ. Уравнение динамики

Установившийся режим не является характерным для САУ. Обычно на управляемый процесс действуют различные возмущения, отклоняющие управляемый параметр от заданной величины.

Процесс установления требуемого значения управляемой величины называется регулированием. Ввиду инерционности звеньев регулирование не может осуществляться мгновенно.

Рассмотрим САР, находящуюся в установившемся режиме, характеризующемся значением выходной величины y = yo. Пусть в момент t = 0 на объект воздействовал какой - либо возмущающий фактор, отклонив значение регулируемой величины. Через некоторое время регулятор вернет САР к первоначальному состоянию (с учетом статической точности) (рис.24). Если регулируемая величина изменяется во времени по апериодическому закону, то процесс регулирования называется апериодическим.

При резких возмущениях возможен колебательный затухающий процесс (рис.25а). Существует и такая вероятность, что после некоторого времени Тр в системе установятся незатухающие колебания регулируемой величины - незатухающий колебательный процесс (рис.25б). Последний вид - расходящийся колебательный процесс (рис.25в).

Таким образом, основным режимом работы САУ считается динамический режим, характеризующийся протеканием в ней переходных процессов. Поэтому второй основной задачей при разработке САУ является анализ динамических режимов работы САУ.

Поведение САУ или любого ее звена в динамических режимах описывается уравнением динамики y(t) = F(u,f,t), описывающее изменение величин во времени. Как правило, это дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений. Поэтому основным методом исследования САУ в динамических режимах является метод решения дифференциальных уравнений. Порядок дифференциальных уравнений может быть довольно высоким, то есть зависимостью связаны как сами входные и выходные величины u(t), f(t), y(t), так и скорости их изменения, ускорения и т.д. Поэтому уравнение динамики в общем виде можно записать так:

F(y, y’, y”,..., y(n), u, u’, u”,..., u(m), f, f ’, f ”,..., f(k)) = 0.

 

2. Линеаризация уравнения динамики

В общем случае уравнение динамики оказывается нелинейным, так как реальные звенья САУ обычно нелинейны. В целях упрощения теории нелинейные уравнения заменяют линейными, которые приблизительно описывают динамические процессы в САУ. Получаемая при этом точность уравнений оказывается достаточной для технических задач. Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называется линеаризацией уравнений динамики. Рассмотрим сначала геометрическое обоснование линеаризации.

В нормально функционирующей САУ значение регулируемой и всех промежуточных величин незначительно отличается от требуемых. В пределах малых отклонений все нелинейные зависимости между величинами, входящими уравнение динамики, могут быть приближенно представлены отрезками прямых линий. Например, нелинейная статическая характеристика звена на участке АВ (рис.26) может быть представлена отрезком касательной в точке номинального режима А"В". Начало координат переносится в точку О’, и в уравнениях записываются не абсолютные значения величин y,u,f, а их отклонения от номинальных значений: y = y - yн, u = u - uн, f = f - fн. Это позволяет получить нулевые начальные условия, если считать, что при t 0 система находилась в номинальном режиме в состоянии покоя.

Математическое обоснование линеаризации состоит в том, что если известно значение f(a) какой - либо функции f(x) в любой точке x = a, а также значения производных от этой функции в данной точке f’(a), f”(a), ..., f(n)(a), то в любой другой достаточно близкой точке x + x значение функции можно определить, разложив ее в окрестности точки a в ряд Тейлора:

 

           

 

Аналогично можно разложить и функцию нескольких переменных. Для простоты возьмем упрощенный, но наиболее характерный вариант уравнения динамики САУ: F(y,y',y",u,u') = f. Здесь производные по времени u',y',y" также являются переменными. В точке, близкой к номинальному режиму: f = fн + f и F = Fн + F. Разложим функцию F в ряд Тейлора в окрестности точки номинального режима, отбрасывая члены ряда высоких порядков малости:

 

.

 

В номинальном режиме, когда все отклонения и их производные по времени равны нулю, получаем частное решение уравнения: Fн = fн. Учитывая это и вводя обозначения получим:

 

aoy” + a1y’ + a2y = bou’ + b1u + cof.

Отбрасывая все знаки , получим:

aoy” + a1y’ + a2y = bou’ + b1u + cof.

Отбрасывая все знаки , получим:

В более общем случае:

aoy(n) + a1y(n-1) + ... + an - 1y’ + any = bou(m) + ... + bm - 1u’ + bmu + cof.

 

При этом всегда нужно помнить, что в данном уравнении используются не абсолютные значения величин y, u, f их производных по времени, а отклонения этих величин от номинальных значений. Поэтому полученное уравнение будем называть уравнением в отклонениях.

К линеаризованной САУ можно применить принцип суперпозиции: реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет звено с двумя входами u и f разложить на два звена, каждое из которых имеет один вход и один выход (рис.27). Поэтому в дальнейшем мы ограничимся изучением поведения систем и звеньев с одним входом, уравнение динамики которых имеет вид:    

 

aoy(n) + a1y(n-1) + ... + an - 1y’ + any = bou(m) + ... + bm - 1u’ + bmu.

 

Это уравнение описывает САУ в динамическом режиме лишь приближенно с той точностью, которую дает линеаризация. Однако следует помнить, что линеаризация возможна только при достаточно малых отклонениях величин и при отсутствии разрывов в функции F в окрестностях интересующей нас точки, которые могут быть созданы различными выключателями, реле и т.п.

Обычно n ≥ m, так как при n < m САУ технически нереализуемы.

3. Передаточная функция

В ТАУ часто используют операторную форму записи дифференциальных уравнений. При этом вводится понятие дифференциального оператора p = d/dt так, что, dy/dt = py, а pn = dn/dtn. Это лишь другое обозначение операции дифференцирования. Обратная дифференцированию операция интегрирования записывается как 1/p. В операторной форме исходное дифференциальное уравнение записывается как алгебраическое:

 

aop(n)y + a1p(n-1)y + ... + any = (aop(n) + a1p(n-1) + ... + an)y = (bop(m) + b1p(m-1) + ... + bm)u

 

Не надо путать эту форму записи с операционным исчислением хотя бы потому, что здесь используются непосредственно функции времени y(t), u(t) (оригиналы), а не их изображения Y(p), U(p), получаемые из оригиналов по формуле преобразования Лапласа. Вместе с тем при нулевых начальных условиях с точностью до обозначений записи действительно очень похожи. Это сходство лежит в природе дифференциальных уравнений. Поэтому некоторые правила операционного исчисления применимы к операторной форме записи уравнения динамики. Так оператор p можно рассматривать в качестве сомножителя без права перестановки, то есть pyyp. Его можно выносить за скобки и т.п.

Поэтому уравнение динамики можно записать также в виде:

 

 

Дифференциальный оператор W(p) называют передаточной функцией. Она определяет отношение выходной величины звена к входной в каждый момент времени: W(p) = y(t)/u(t), поэтому ее еще называют динамическим коэффициентом усиления. В установившемся режиме d/dt = 0, то есть p = 0, поэтому передаточная функция превращается в коэффициент передачи звена K = bm/an.

Знаменатель передаточной функции D(p) = aopn + a1pn - 1 + a2pn - 2 + ... + an называют характеристическим полиномом. Его корни, то есть значения p, при которых знаменатель D(p) обращается в ноль, а W(p) стремится к бесконечности, называются полюсами передаточной функции.

Числитель K(p) = bopm + b1pm - 1+ ... + bm называют операторным коэффициентом передачи. Его корни, при которых K(p) = 0 и W(p) = 0, называются нулями передаточной функции.

Звено САУ с известной передаточной функцией называется динамическим звеном. Оно изображается прямоугольником, внутри которого записывается выражение передаточной функции. То есть это обычное функциональное звено, функция которого задана математической зависимостью выходной величины от входной в динамическом режиме. Для звена с двумя входами и одним выходом должны быть записаны две передаточные функции по каждому из входов. Передаточная функция является основной характеристикой звена в динамическом режиме, из которой можно получить все остальные характеристики. Она определяется только параметрами системы и не зависит от входных и выходных величин. Например, одним из динамических звеньев является интегратор. Его передаточная функция Wи(p) = 1/p. Схема САУ, составленная из динамических звеньев, называется структурной.

4. Элементарные динамические звенья

Динамика большинства функциональных элементов САУ независимо от исполнения может быть описана одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями не более второго порядка. Такие элементы называют элементарными динамическими звеньями. Передаточная функция элементарного звена в общем виде задается отношением двух полиномов не более чем второй степени:

 

Wэ(p) = .

 

Известно также, что любой полином произвольного порядка можно разложить на простые сомножители не более, чем второго порядка. Так по теореме Виета можно записать

 

D(p) = aopn + a1pn - 1 + a2pn - 2 + ... + an = ao(p - p1)(p - p2)...(p - pn),

 

где p1, p2, ..., pn - корни полинома D(p). Аналогично

 

K(p) = bopm + b1pm - 1+ ... + bm = bo(p - p~1)(p - p~2)...(p - p~m),

 

где p~1, p~2, ..., p~m - корни полинома K(p). То есть

 

 

Корни любого полинома могут быть либо вещественными pi = ai , либо комплексными попарно сопряженными pi = ai ± ji . Любому вещественному корню при разложении полинома соответствует сомножитель (p - ai ). Любая пара комплексно сопряженных корней соответствует полиному второй степени, так как

 

(p - ai + ji )(p - ai - ji ) = (p - ai)2 + i 2 = p2 - 2pai + (ai 2 + i 2).

 

То есть

 

Поэтому любую сложную передаточную функцию линеаризованной САУ можно представить как произведение передаточных функций элементарных звеньев. Каждому такому звену в реальной САУ, как правило, соответствует какой - то отдельный узел. Зная свойства отдельных звеньев можно судить о динамики САУ в целом.

В теории удобно ограничиться рассмотрением типовых звеньев, передаточные функции которых имеют числитель или знаменатель, равный единице, то есть W(p) = , W(p) = , W(p) = 1/p, W(p) = p, W(p) = Tp + 1, W(p) = k. Из них могут быть образованы все остальные звенья. Звенья, у которых порядок полинома числителя больше порядка полинома знаменателя, технически нереализуемы.

Контрольные вопросы

  1. Какой режим САУ называется динамическим?
  2. Что называется регулированием?
  3. Назовите возможные виды переходных процессов в САУ. Какие из них являются допустимыми для нормальной работы САУ?
  4. Что называется уравнением динамики? Каков его вид?
  5. Как провести теоретическое исследование динамики САУ?
  6. Что называется линеаризацией?
  7. В чем геометрический смысл линеаризации?
  8. В чем состоит математическое обоснование линеаризации?
  9. Почему уравнение динамики САУ называется уравнением в отклонениях?
  10.  Справедлив ли для уравнения динамики САУ принцип суперпозиции? Почему?
  11.  Как звено с двумя и более входами представить схемой, состоящей из звеньев с одним входом?
  12.  Запишите линеаризованное уравнение динамики в обычной и в операторной формах?
  13.  В чем смысл и какими свойствами обладает дифференциальный оператор p?
  14.  Что называется передаточной функцией звена?
  15. Запишите линеаризованное уравнение динамики с использованием передаточной функции. Справедлива ли эта запись при ненулевых начальных условиях? Почему?
  16.  Напишите выражение для передаточной функции звена по известному линеаризованному уравнению динамики: (0.1p + 1)py(t) = 100u(t).
  17.  Что называется динамическим коэффициентом усиления звена?
  18.  Что называется характеристическим полиномом звена?
  19.  Что называется нулями и полюсами передаточной функции?
  20.  Что называется динамическим звеном?
  21.  Что называется структурной схемой САУ?
  22.  Что называется элементарными и типовыми динамическими звеньями?
  23.  Как сложную передаточную функцию разложить на передаточные функции типовых звеньев?
CAD   ТПОИ   ЭИ   Эконометрика   к библиотеке  

(время поиска примерно 20 секунд)


Знаете ли Вы, что такое мысленный эксперимент, gedanken experiment?
Это несуществующая практика, потусторонний опыт, воображение того, чего нет на самом деле. Мысленные эксперименты подобны снам наяву. Они рождают чудовищ. В отличие от физического эксперимента, который является опытной проверкой гипотез, "мысленный эксперимент" фокуснически подменяет экспериментальную проверку желаемыми, не проверенными на практике выводами, манипулируя логикообразными построениями, реально нарушающими саму логику путем использования недоказанных посылок в качестве доказанных, то есть путем подмены. Таким образом, основной задачей заявителей "мысленных экспериментов" является обман слушателя или читателя путем замены настоящего физического эксперимента его "куклой" - фиктивными рассуждениями под честное слово без самой физической проверки.
Заполнение физики воображаемыми, "мысленными экспериментами" привело к возникновению абсурдной сюрреалистической, спутанно-запутанной картины мира. Настоящий исследователь должен отличать такие "фантики" от настоящих ценностей.

Релятивисты и позитивисты утверждают, что "мысленный эксперимент" весьма полезный интрумент для проверки теорий (также возникающих в нашем уме) на непротиворечивость. В этом они обманывают людей, так как любая проверка может осуществляться только независимым от объекта проверки источником. Сам заявитель гипотезы не может быть проверкой своего же заявления, так как причина самого этого заявления есть отсутствие видимых для заявителя противоречий в заявлении.

Это мы видим на примере СТО и ОТО, превратившихся в своеобразный вид религии, управляющей наукой и общественным мнением. Никакое количество фактов, противоречащих им, не может преодолеть формулу Эйнштейна: "Если факт не соответствует теории - измените факт" (В другом варианте " - Факт не соответствует теории? - Тем хуже для факта").

Максимально, на что может претендовать "мысленный эксперимент" - это только на внутреннюю непротиворечивость гипотезы в рамках собственной, часто отнюдь не истинной логики заявителя. Соответсвие практике это не проверяет. Настоящая проверка может состояться только в действительном физическом эксперименте.

Эксперимент на то и эксперимент, что он есть не изощрение мысли, а проверка мысли. Непротиворечивая внутри себя мысль не может сама себя проверить. Это доказано Куртом Гёделем.

Понятие "мысленный эксперимент" придумано специально спекулянтами - релятивистами для шулерской подмены реальной проверки мысли на практике (эксперимента) своим "честным словом". Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Форум Рыцари теории эфира


Рыцари теории эфира
 26.11.2020 - 18:27: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Аманды Вольмер - Карим_Хайдаров.
26.11.2020 - 16:10: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров.
26.11.2020 - 16:09: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ПРАВОСУДИЯ.НЕТ - Карим_Хайдаров.
26.11.2020 - 15:34: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
26.11.2020 - 15:32: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Амары Ельской - Карим_Хайдаров.
26.11.2020 - 12:07: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Александра Флоридского - Карим_Хайдаров.
25.11.2020 - 07:52: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ - Economy and Finances -> ПРОБЛЕМА КРИМИНАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИКИ - Карим_Хайдаров.
25.11.2020 - 07:51: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от проф. В.Ю. Катасонова - Карим_Хайдаров.
25.11.2020 - 07:37: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Александры Андерссон - Карим_Хайдаров.
25.11.2020 - 06:51: НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - New Technologies -> "Зенит"ы с "Протон"ами будут падать - Карим_Хайдаров.
25.11.2020 - 06:47: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ПРОБЛЕМЫ МЕДИЦИНЫ - Карим_Хайдаров.
24.11.2020 - 20:36: СОВЕСТЬ - Conscience -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.

Боровское исследовательское учреждение - Bourabai Research Bourabai Research Institution