к библиотеке   к оглавлению   визуальные среды - 4GL   технологии программирования

Прикладная теория информации

Частотное представление стационарных случайных сигналов

Дискретные спектры. Корреляционную функцию Ru(t ) (рис.1.14) стационарного случайного процесса, заданного на конечном интервале времени [-Т, Т], можно разложить в ряд Фурье (1.15), условно считая ее периодически продолжающейся с периодом 4T (при - T<. t1, t2<T, - 2Ф<ф<2Ф):

где

Учитывая, что Ru(t ) является четной функцией, имеем

Положив ф = t1 - t2, находим

что согласно (1.89) представляет собой каноническое разложение корреляционной функции. По нему, как было указано ранее, получаем каноническое разложение случайного процесса:

причем

Выражение (1.95) записано для случайного процесса с нулевой постоянной составляющей, что характерно для многих реальных сигналов. В общем случае в правую часть этого выражения необходимо добавить постоянную величину, соответствующую математическому ожиданию случайного процесса (mu). Корреляционная функция при этом не изменяется.

Очевидно, что при попарном объединении экспоненциальных составляющих с одинаковыми положительными и отрицательными индексами k каноническое разложение (1.95) приводится к тригонометрической форме.

Таким образом, стационарный случайный процесс на ограниченном интервале времени можно представить совокупностью гармонических составляющих различных частот с амплитудами, являющимися некоррелированными случайными величинами, математические ожидания которых равны нулю:

где

На спектральной диаграмме такого процесса каждой гармонике ставится в соответствие вертикальный отрезок, длина которого пропорциональна дисперсии ее амплитуды, а расположение на оси абсцисс отвечает частоте (рис.1.15).

Чтобы получить описание стационарного случайного процесса в точном смысле, т.е. справедливое для любого момента времени на бесконечном интервале - <t<, необходимо перейти к интегральному каноническому разложению.

Непрерывные спектры. Интегральное каноническое разложение для корреляционной функции получим из формулы (1.91) путем предельного перехода при Т. Увеличение интервала времени, на котором наблюдается случайный процесс, сопровождается уменьшением значений дисперсий, что следует из (1.92), а также сокращением расстояния между спектральными линиями, поскольку

При достаточно большом, но конечном Т можно записать выражение для средней плотности распределения дисперсии по частоте:

S(w k) = Dk / (Дщ) = 2DkT / (k = 0,±l, ±2,.) (1.98)

где S(w k) - средняя плотность дисперсии на участке, прилегающем к частоте щk.

Теперь можно преобразовать формулы (1.94) и (1.98) к виду

Переходя к пределу при Т, получаем

где

Так как величина S(щk) Дщ являлась не только дисперсией Dk коэффициента разложения корреляционной функции Ru(t ), но и дисперсией D [Ck] коэффициента разложения случайного процесса U(t), то величина Suu(w ) dw , полученная в результате предельного перехода при Т, представляет собой дисперсию, приходящуюся на спектральные составляющие стационарного случайного процесса, занимающие бесконечно малый интервал частот (щ, щ + dw ). Функцию Suu(w ), характеризующую распределение дисперсии случайного процесса по частотам, называют спектральной плотностью стационарного случайного процесса U(t).

Выражение для интегрального канонического разложения корреляционной функции Ru(t ) найдем, положив в формуле (1.101) ф = t1 - t2:

Обозначив G(w ) = Сk / (w ) и повторив процедуру предельного перехода при T для соотношения (1.95), получим каноническое разложение стационарной случайной функции U(t):

где дисперсией случайной функции G(w ) dw является функция Suu(w ) dw .

Поскольку понятие спектральной плотности стационарного случайного процесса играет большую роль при исследовании преобразования сигналов линейными системами, уточним ее свойства и физический смысл.

Основные свойства спектральной плотности. Отметим, что в формулах (1.101) и (1.102) Suu(w ) определена как для положительных, так и для отрицательных частот. Перейдем к одностороннему спектру, ограничиваясь только положительными частотами. Воспользовавшись формулой Эйлера, представим соотношение (1.102) состоящим из двух слагаемых:

В силу четности функции Ru(t ) второе слагаемое равно нулю, а первое можно преобразовать к виду

Из (1.105) следует, что Suu(w ) является действительной и четной функцией, т.е.

Это позволяет ограничиться положительными частотами и в (1.101):

Соотношения (1 101) и (1.102), а также (1.105) и (1.107) являются парами интегрального преобразования Фурье, причем (1.105) и (1.107) для случая четной функции. Поэтому корреляционная функция и спектральная плотность подчинены закономерности: чем протяженнее кривая Suu(щ), тем уже корреляционная функция Ru(t ) (тем меньше время корреляции), и наоборот.

Площадь, ограниченная непрерывной кривой Suu(w ) на спектральной диаграмме, очевидно, должна равняться дисперсии Du случайного процесса U(t). Действительно, положив в формуле (1.107) ф = 0, получим

Подразумевая под случайным процессом U(t) напряжение, Du можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую этим напряжением на резисторе с сопротивлением в 1 Ом:

Следовательно, величина

представляет собой долю средней мощности, выделяемой составляющими спектра, относящимися к интервалу частот (щ, щ + dw ).

В связи с этим спектральную плотность Suu(w ) называют еще спектральной плотностью мощности, а также энергетическим спектром стационарного случайного процесса, поскольку Suu(w ) имеет размерность энергии.

Спектральная плотность мощности случайного процесса является средней характеристикой множества реализаций. Ее можно получить и путем усреднения спектральной мощности реализации Сk(щ) (1.62) по множеству реализаций.

Рассмотрим с этой целью одну реализацию u(t) стационарного случайного процесса U(t) сначала на ограниченном интервале времени - T<t<. T. Для нее можно записать преобразование Фурье:

В соответствии с (1.63) спектральная плотность мощности этой реализации

Найдем среднее значение С(щ) по множеству реализации k. Имеем

или

Так как мы предполагаем, что случайный процесс U(t) стационарный, то

где t1 - t2 = ф.

При выполнении условия (1.114) для выражения (1.113) существует предел при T:

что и требовалось показать.

Пример 1.7 У центрированного стационарного случайного процесса спектральная плотность постоянна. Рассмотреть особенности такого процесса.

Пусть спектральная плотность Suu(щ) ограничена определенной полосой частот (рис.1.16, а):

В соответствии с (1.107) найдем автокорреляционную функцию процесса U(t):

Вид функции Ru(t ) приведен на рис.1.16,6. Значение ее при ф = 0 равно дисперсии, а следовательно, средней мощности рассматриваемого процесса:

Будем теперь расширять полосу частот, занимаемую энергетическим спектром (рис.1.17, а). Интервал времени, на котором наблюдается существенная корреляционная связь значений процесса, при этом уменьшается, а дисперсия Du возрастает.

При w 0 дисперсия становится безграничной, а корреляционная функция принимает вид дельта-функции (рис.1.17,6).

Идеализированный случайный процесс, энергетический спектр которого безграничен и равномерен, известен как "белый шум". Такое название возникло по аналогии с белым светом, имеющим равномерный и неограниченный спектр интенсивности. Основная особенность процесса в том, что его значения в любые два сколь угодно близкие моменты времени некоррелированы. Создать белый шум принципиально невозможно, так как реальные источники сигналов всегда имеют ограниченную мощность. Тем не менее, понятие "белый шум" нашло широкое применение в информационной технике. Такая модель может быть принята, например, для сигналов (шумов), имеющих равномерный энергетический спектр в пределах полосы пропускания входного блока системы, в которой они рассматриваются.

Иногда говорят о "реальном белом шуме", подразумевая стационарный случайный процесс с равномерным энергетическим спектром в пределах конечной, но достаточно широкой полосы частот.

Пример 1.8 Определить спектральную плотность мощности случайного процесса с линейно убывающей нормированной функцией автокорреляции (рис.1.18).

Аналитическое выражение нормированной корреляционной функции запишем в виде

Воспользовавшись соотношением (1.105) при р„ (0) = 1, получим

Раскрывая по правилу Лопиталя неопределенность выражения (1.119) при щ = 0, найдем

Несложный дополнительный анализ дает возможность определить форму кривой Suu(w ) (рис.1. 19).


(время поиска примерно 20 секунд)

Знаете ли Вы, почему "черные дыры" - фикция?
Согласно релятивистской мифологии, "чёрная дыра - это область в пространстве-времени, гравитационное притяжение которой настолько велико, что покинуть её не могут даже объекты, движущиеся со скоростью света (в том числе и кванты самого света). Граница этой области называется горизонтом событий, а её характерный размер - гравитационным радиусом. В простейшем случае сферически симметричной чёрной дыры он равен радиусу Шварцшильда".
На самом деле миф о черных дырах есть порождение мифа о фотоне - пушечном ядре. Этот миф родился еще в античные времена. Математическое развитие он получил в трудах Исаака Ньютона в виде корпускулярной теории света. Корпускуле света приписывалась масса. Из этого следовало, что при высоких ускорениях свободного падения возможен поворот траектории луча света вспять, по параболе, как это происходит с пушечным ядром в гравитационном поле Земли.
Отсюда родились сказки о "радиусе Шварцшильда", "черных дырах Хокинга" и прочих безудержных фантазиях пропагандистов релятивизма.
Впрочем, эти сказки несколько древнее. В 1795 году математик Пьер Симон Лаплас писал:
"Если бы диаметр светящейся звезды с той же плотностью, что и Земля, в 250 раз превосходил бы диаметр Солнца, то вследствие притяжения звезды ни один из испущенных ею лучей не смог бы дойти до нас; следовательно, не исключено, что самые большие из светящихся тел по этой причине являются невидимыми." [цитата по Брагинский В.Б., Полнарёв А. Г. Удивительная гравитация. - М., Наука, 1985]
Однако, как выяснилось в 20-м веке, фотон не обладает массой и не может взаимодействовать с гравитационным полем как весомое вещество. Фотон - это квантованная электромагнитная волна, то есть даже не объект, а процесс. А процессы не могут иметь веса, так как они не являются вещественными объектами. Это всего-лишь движение некоторой среды. (сравните с аналогами: движение воды, движение воздуха, колебания почвы). Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.


НОВОСТИ ФОРУМА

Форум Рыцари теории эфира


Рыцари теории эфира
 08.03.2021 - 09:18: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ЗА НАМИ БЛЮДЯТ - Карим_Хайдаров.
08.03.2021 - 09:18: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров.
08.03.2021 - 09:17: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
08.03.2021 - 09:16: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Галины Царёвой - Карим_Хайдаров.
08.03.2021 - 09:15: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Александра Флоридского - Карим_Хайдаров.
08.03.2021 - 09:14: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ПРОБЛЕМЫ МЕДИЦИНЫ - Карим_Хайдаров.
08.03.2021 - 09:13: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Амары Ельской - Карим_Хайдаров.
07.03.2021 - 18:09: СОВЕСТЬ - Conscience -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
07.03.2021 - 18:02: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Проблема народного образования - Карим_Хайдаров.
07.03.2021 - 17:59: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от О.Н. Четвериковой - Карим_Хайдаров.
07.03.2021 - 17:58: СОВЕСТЬ - Conscience -> РУССКИЙ МИР - Карим_Хайдаров.
07.03.2021 - 17:57: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Пламена Паскова - Карим_Хайдаров.
Боровское исследовательское учреждение - Bourabai Research Bourabai Research Institution