УМОВ Николай Алексеевич
ЗАКОНЫ КОЛЕБАНИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ ПОСТОЯННОЙ УПРУГОСТИ

Впервые напечатано в Математическом сборнике, т. 5, 1870 г. (Прим. ред.)

§ 4. Мы переходим к исследованию некоторых частных видов дифференциальных параметров первого порядка поверхностей р, рг, |.,.

а) Предположим, что поверхность p есть поверхность вращения. Принимая ось вращения за ось z, называя через г расстояние точки поверхности от оси, через рг — угол меридиональных плоскостей с постоянною

плоскостью, через рг параметр поверхностей, пересекающих поверхности p и р2 под прямым углом, мы имеем, полагая p постоянным:

Замечая, что мы

находим по уравнению (1):

Точно так же имеем:

Следовательно, Нг и На в поверхностях вращения не зависят от параметра меридиональных плоскостей.

Ь) Рассмотрим цилиндрические поверхности. Возьмём ось z параллельно образующей. Координату z примем за параметр плоскостей, нормальных к оси z. Параметр плоскостей, параллельных оси z и нормальных к поверхности цилиндра, которую принимаем за поверхность [>, означим через f/t.

Имеем, полагая p постоянным:

откуда находим:

В обоих случаях (а) и (Ь), как легко видеть, первое из уравнений (14) обращается в тождество, и уравнение (15) сводится к двум последним членам.

Как пример цилиндрической волны рассмотрим эпициклоидалы-гый цилиндр.

Представим себе (рис. 1) в среде постоянной упругости два равных неограниченных круглых цилиндра А и В. Оба цилиндра образуют по линии MZ узкую щель, параллельную их осям и через которую вытекают колебания в пространство, находящееся перед цилж:-.драми. От этой щели побегут колебания, огибая до ы>-

которой точки L один из цилиндров и затем распространяясь по касательной к нему LQ. Таким образом, от MZ побежит цилиндрическая волна, сечение которой, перпендикулярное к образующей, представит кривая PQ. Эту последнюю мы можем себе представить происшедшей от движения конца нити MR, навёрнутой на щь

Рис. 1.

линдp В и затем развёртываемой при постоянном натяжении. Длина этой нити может быть принята за параметр р, так как все колебания, одновременно вышедшие из MZ, будут одновременно прибывать к различным поверхностям р. Для некоторого момента сечение волны будет P'Q', для другого P"Q" и т. д. Если примем радиус цилиндров равным 1, угол MOL —sä параметр pt касательных плоскостей. NLQZ', нормаль-

ных к волне, то геометрические свойства волны представятся уравнениями:

с) Исследуем поверхность, для которой

Означая это отношение через и,, мы находим из уравнений (14):

Интегрируя, получаем:

Это равенство возможно, если только (j. постоянно. Поэтому уравнения (12) примут вид:

И из уравнений (2) мы находим величину кривизн поверхности р:

т. е. оба радиуса кривизны равны между собою в каждой точке поверхности p и не изменяются при переходе от одной точки к другой. Следовательно, в рассматриваемом случае поверхность p есть сфера. Сюда же относится случай

если одно из уравнений (14) не обращается тождественно в нуль, что приводит к круглому цилиндру. Если мы примем //=1, получим:

Вместо p -l u. мы можем поставить просто p при условии, что при р = 0 будет /fj —0, /7о=--0. Тогда Нг = Рр, HZ = Q?.

Принимая р2 за параметр меридиональных плоскостей, рг — за параметр конуса широты и p--за радиус сферы, мы получаем из выражений (11):

Следовательно,

d) Исследуем поверхность волны р, когда одна из величин Р1 пли Q-^ обращается в нуль. Примем

<?1 = 0-

Кривизны поверхности р определяются из уравнений (7), и мы находим:

откуда заключаем, что один радиус кривизны есть величина, постоянная для всех точек поверхности р, другой же — величина переменная. Следовательно, поверхность р имеет вид канала, образованного движением центра сферы постоянного радиуса г" по некоторой кривой в пространстве.

Так как 01=0, то из уравнений (14) мы находим, что />! не должно зависеть от \-г и Q не должно зависеть от р!. Поэтому кривизны поверхностей ръ ра будут по выражениям (7):

е) Явления оиффракции. При своём движении волна может встречать препятствия, которые она должна огибать, или отверстия, через которые может проникнуть только часть волны. Как в том, так и в другом случае явления изменяются, ибо изменяется самый вид волны.

Предположим (рис. 2), что //' представляет поверхность волны в какой-нибудь момент времени.

Рис. 2.

MN представляет препятствие. Линии а, а', а", а'" представляют направление нормалей к волне. В некоторый момент волна принимает положение QM, затем Q'M'J", ибо движение распространилось и в пространстве M'MN. Сечение поверхности M'J" плоскостью, нормальною к ребру препятствия MN, есть дуга круга. Следовательно, эта поверхность принадлежит к разряду исследованных в (d). Излагаемая ниже теория поперечных колебаний даёт возможность по данному виду волны определить законы колебаний, происходящих на её поверхности; а следовательно, определяя дифференциальные параметры первого порядка ортогональной системы, включающей поверхность Q'M'J", вставляя их в найденные выше дифференциальные уравнения с частными производными и интегрируя их, мы решим задачу.

Пусть //' (рис. 3) представляет снова начальное положение волны и MN—отверстие- Легко видеть, что одним из последующих положений волны будет 00'0"0'", где 00', О"О'" суть поверхности, определённые в (d). Такой случай решается, как и предыдущий.

Метод изыскания законов диффракции, здесь предложенный, представляет к своему осуществлению многие трудности, заключающиеся преимущественно в разрывности всех или некоторых дифференциальных параметров первого порядка ортогональной системы. В этой разрывности заключается основной характер явлений диффракции.

Рис. 3.

 

назад вперед

 


Знаете ли Вы, что такое мысленный эксперимент, gedanken experiment?
Это несуществующая практика, потусторонний опыт, воображение того, чего нет на самом деле. Мысленные эксперименты подобны снам наяву. Они рождают чудовищ. В отличие от физического эксперимента, который является опытной проверкой гипотез, "мысленный эксперимент" фокуснически подменяет экспериментальную проверку желаемыми, не проверенными на практике выводами, манипулируя логикообразными построениями, реально нарушающими саму логику путем использования недоказанных посылок в качестве доказанных, то есть путем подмены. Таким образом, основной задачей заявителей "мысленных экспериментов" является обман слушателя или читателя путем замены настоящего физического эксперимента его "куклой" - фиктивными рассуждениями под честное слово без самой физической проверки.
Заполнение физики воображаемыми, "мысленными экспериментами" привело к возникновению абсурдной сюрреалистической, спутанно-запутанной картины мира. Настоящий исследователь должен отличать такие "фантики" от настоящих ценностей.

Релятивисты и позитивисты утверждают, что "мысленный эксперимент" весьма полезный интрумент для проверки теорий (также возникающих в нашем уме) на непротиворечивость. В этом они обманывают людей, так как любая проверка может осуществляться только независимым от объекта проверки источником. Сам заявитель гипотезы не может быть проверкой своего же заявления, так как причина самого этого заявления есть отсутствие видимых для заявителя противоречий в заявлении.

Это мы видим на примере СТО и ОТО, превратившихся в своеобразный вид религии, управляющей наукой и общественным мнением. Никакое количество фактов, противоречащих им, не может преодолеть формулу Эйнштейна: "Если факт не соответствует теории - измените факт" (В другом варианте " - Факт не соответствует теории? - Тем хуже для факта").

Максимально, на что может претендовать "мысленный эксперимент" - это только на внутреннюю непротиворечивость гипотезы в рамках собственной, часто отнюдь не истинной логики заявителя. Соответсвие практике это не проверяет. Настоящая проверка может состояться только в действительном физическом эксперименте.

Эксперимент на то и эксперимент, что он есть не изощрение мысли, а проверка мысли. Непротиворечивая внутри себя мысль не может сама себя проверить. Это доказано Куртом Гёделем.

Понятие "мысленный эксперимент" придумано специально спекулянтами - релятивистами для шулерской подмены реальной проверки мысли на практике (эксперимента) своим "честным словом". Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

Bourabai Research Institution home page

Боровское исследовательское учреждение - Bourabai Research Bourabai Research Institution