Nicht im Handel Sonderabdruck aus Vol. II, 1956, Fase. 1

ASTRONAUTICA ACTA

Herausgegeben von W. v. Braun, A. Ettla, J. M. J. Kooy, E. Snger, K. Schtte, L. R. Shepherd und J. Stemmer

Schriftleitung: F. Hecht, Wien
Springer-Verlag in Wien Alle Rechte vorbehalten


Relativistische Zeitdiiatation eines knstlichen Satelliten

Von

F. Winterberg1, GfW

(Eingelangt am 10. August 1955)

Zusammenfassung. Bei Bercksichtigung der Relativittstheorie treten mebare Zusatzglieder zum Doppler-Effekt auf, die in unmittelbarem Zusammenhang mit der einsteinischen Zeitdilatation stehen. Beim vorliegenden Problem darf jedoch nicht die spezielle Relativittstheorie, sondern mu entsprechend dem Vorhandensein von Gravitationsfeldern die .allgemeine Relativittstheorie zugrunde gelegt werden. Die berlegungen, die fr den Doppler-Effekt magebend sind, bertragen sich dabei sinngem auf Uhren auf dem Satelliten und auf der Erde, deren Gang verglichen wird. Die Messung der Abweichung des Uhrenganges und damit die Messung der Zeitdilatation wird ermglicht durch Vergleich zweier mit Moleklresonanzlinien gesteuerter Quarzuhren (sog. Atomuhren) auf dem knstlichen Satelliten und auf der Erdoberflche. Es zeigt sich dabei, da die auf einem knstlichen Satelliten befindliche Uhr gegenber einer auf der Erdoberflche aufgestellten im Laufe eines Jahres nm einige tausendstel Sekunden und damit um einen mebaren Betrag nachgeht.

Abstract. Considering the theory of relativity there come forth measurable supplement limbs of the Doppler effect which are closely connected with Einstein's dilatation of time. In the problem at hand the basic element is not the Special Theory of Relativity but, according to the existence of fields of gravitation, it is the General Theory of Relativity. The considerations which are competent for the Doppler-effect are transferred logically to clocks on the satellite and on the earth, the motion of which is compared. The measuring of the divergence of the motion of the clock and thus the measuring of the time dilatation is made possible through comparison of two quartz-clocks (so-called atomic clocks) with molecule resonance lines on the artificial satellite and on the surface of the earth. Thereby it shows that the clock on the artificial satellite compared with a clock placed on the surface of the earth, in the course of a year will lose several thousandths of a second, that is, a measurable amount.

Eesume. La theorie de la relativite introduit dans l'effet Doppler des tennes additionnels mesurables qui sont en relation avec la dilatation du temps. En raison de la presence d'un champ de gravitation il faut appliquer la theorie de la relativite generalisee. Les considerations pertinentes l'effet Doppler s'appliquent aussi bien la mesure du temps la surface d'un satellite et la surface de la terre. En utilisant des horloges quartz, asservies une frequence de resonance moleculaire, le faible ecart que presente la comparaison pourrait etre decele. Le calcul montre en effet que sur une periode d' un an l'horloge du satellite artificiel doit retarder de quelques milliemes de secondes.

I. Einleitung

Aus der elementaren Theorie des Doppler-Effekts ergibt sich, bekanntlich eine Frequenznderung der Strahlung eines relativ zu einem ruhenden Beobachter bewegten Senders, wobei die Frequenznderung proportional dem Verhltnis v/c ist. Dabei ist v die Komponente der Geschwindigkeit des Senders in ^Richtung auf den Beobachter hin und c die Lichtgeschwindigkeit.

Die relativistische Behandlung des Doppler-Effekts fhrt neben diesem sogenannten longitudinalen Doppler-Effekt noch auf den transversalen Doppler-Effekt, der in erster Nherung proportional (v/c)2 ist, wobei v aber jetzt der Absolutbetrag der Geschwindigkeit sein soll. Dieser sogenannte transversale Doppler-Effekt hngt eng mit der einsteinschen Zeitdilatation zusammen und ist von der Bewegungsrichtung des Senders relativ zum Beobachter unabhngig. Die berlegungen, die fr den Doppler-Effekt magebend sind, bertragen sich auf die Frage nach dem Gang von zwei Uhren im System des bewegten Senders und in demjenigen des Beobachters.

Setzen wir eine periodische Bewegung des Senders relativ zum Beobachter voraus, wie sie beim knstlichen Satelliten gegeben ist, so wird beim Vergleich des Ganges der Uhr auf dem Satelliten mit dem Gang der Uhr des Beobachters - der gewhnliche Doppler-Effekt (longitudinaler Effekt) ein periodisch schwankendes Vor- und Nachgehen der Uhr des Satelliten gegenber der Uhr des Beobachters bewirken. Anders beim transversalen Doppler-Effekt, der zu einem stetigen Anwachsen des Gangunterschiedes der auf dem' Satelliten befindlichen Uhr gegenber der Uhr des Beobachters fhren wird.

Zur Messung des hierbei auftretenden Gangunterschiedes sind gewhnliche Quarzuhren noch zu ungenau und daher ungeeignet. Neuerdings sind aber Quarzuhren von unerhrter Genauigkeit entwickelt worden, bei denen die Temperatur des Steuerquarzes mit einer Moleklresonanzhnie geregelt wird. Diese sogenannten Atomuhren haben die Genauigkeit von 10-12 in ihrem Gang. Sie werden sich zur Nachprfung des hier beschriebenen Effekts eignen.

In Verbindung mit dem Bau eines knstlichen Satelliten ergibt sich, damit eine neue Mglichkeit zur Nachprfung der allgemeinen Relativittstheorie,

H. Allgemeine Theorie des Doppler-Effekts von zwei in einem Gravitationsfeld sieh bewegenden Krpern

Die hier erluterte allgemeine Doppler-Fonnel findet sich in dem bekannten Buch von Tolman1.

Als Lsung der einsteinschen Feldgleichungen der Gravitation ergibt sich .allgemein erne nichteuklidische Form des vierdimensionalen Linienelements

wobei ber doppelt vorkommende griechische Indizes nach Vereinbarung zu summieren ist. Die Lage von Sender und Empfnger sind Funktionen der Zeit, wobei dem Sender der Index 1 und dem Beobachter der Index 2 gegeben werde. "Weiters sei angenommen, da zur Zeit t1 ein Signal den Sender verlt und zur Zeit t2 den Beobachter erreicht. Zwischen beiden Zeiten besteht eine Abhngigkeit . der Form

Durch Gl. (3) ist das Verhltnis eines Zeitintervaus von zwei gleichen, im System des Senders und des Beobachters befindlichen Uhren festgelegt.

HL Spezialisierung auf ein zentralsymmetriselies Gravitationsfeld

Gl. (3) soll nun auf den Fall eines zentralsymrn.etrischen Gravitationsfeldes angewandt werden, wie er bei einem im Erdkraftfeld sich bewegenden Satelliten vorliegt.

Die Lsung der Feldgleichnngen ist dabei durch das schwakzschildsche Linienelement gegeben, das in sphrischen Polarkoordinaten lautet:

ist, mit der Abkrzung a = G M/c2, wo G die Gravitationskonstante, M die Erdmasse und c die Lichtgeschwindigkeit ist. Zur Aufstellung der Abhngigkeit (2) setzen wir

dabei ist s der Abstand des Satelliten vom Beobachter zur Zeit i1. Gl. (6) gilt nherungsweise, wenn die Geschwindigkeit des Satelliten relativ zum Beobachter klein gegen die Lichtgeschwindigkeit ist. Zur Berechnung von s setzen wir auerdem gr = 1, was einer Vernachlssigung der Raumkrmmung gleich kommt.
Wir erhalten zunchst an Stelle von Gl. (3):

Die rechte Seite von Gl. (7) setzt sich aus einem periodischen, mit P(i1) multiplizierten, und aus einem skularen", linear mit der Zeit anwachsenden Teil . zusammen.

Im folgenden werden wir uns auf den skularen Anteil beschrnken, da er allein Anla zu einer relativistischen Zeitdilatation gibt, die sich nicht wie beim periodischen Teil im Zeitmittel heraushebt.

IV. Spezialisierung auf eine Kreisbahn

Um die Verhltnisse an einem einfachen Beispiel zu studieren, legen wir jetzt die Annahme einer Kreisbahn des knstlichen Satelliten zugrunde. Die berlegungen lassen sich unschwer auf elliptische Bahnen erweitern.

Wir wollen annehmen, da der Satellit sich mit dem Neigungswinkel * gegen die quatorebene bewegt. Um das vierdimensionale Linienelement des Satelliten zu berechnen, bentzen wir die Invarianz von s in Beziehung auf rumliche Drehungen und berechnen ds im Bezugssystem, das die Bahnebene als Grundebene hat. Unter diesen Voraussetzungen wird:

Fr den Beobachter auf der Erde legen wir das quatoriale Polarkoordinaten-system zugrunde. Dabei ist zu bercksichtigen, da

Der letzte Term auf der rechten Seite von (12 a) beschreibt den Einflu der relativ zum Satelliten erfolgenden Erdrotation auf die Zeitdilatation. Dieser Beitrag ist gegenber den anderen Beitrgen von untergeordneter Bedeutung. Vernachlssigen wir der Einfachheit halber diesen Term, so zeigt sich das interessante Resultat, da die Zeitdilatation fr die durch die Bedingung

gegebene Hhe der Kreisbahn ber der Erdoberflche verschwindet.. Aus (13) folgt dafr: .

Da der Erdradius r2 = 6400 km betrgt, folgt fr die Hhe der Kreisbahn h = r1 - r2 = 3200 km. Dieses Resultat ist deshalb bemerkenswert, weil ohne. Bercksichtigung der allgemeinen Relativittstheorie sich dies nicht ergeben htte. Wir wollen die Betrachtungen mit einem numerischen Beispiel beschlieen, indem wir annehmen, da der Beobachter auf der Erdoberflche sich auf dem Nordpol befindet. In diesem Fall verschwindet das von der Erdrotation herrhrende Glied. Weiter soll der Satellit in einer Hhe von 1650 km die Erde umkreisen. Damit ergibt sich:

Im Laufe.eines Jahres geht daher die auf dem Satelliten sich befindende Uhr gegenber der auf der Erde befindlichen um 4,2 10-3 sec nach. Um den skizzierten Effekt reproduzierbar zu machen, ist es erforderlich, ber Uhren zu verfgen, die mindestens mit einer Genauigkeit von 10-11 gehen. Dieser Forderung gengen die eingangs erwhnten Atomuhren. ' Sie erlauben den vorausgesagten Effekt auf zwei Dezimalen genau zu bestimmen.

Auf den hier hingewiesenen Effekt begrndet sich eine neue eindrucksvolle Mglichkeit zur berprfung der allgemeinen Relativittstheorie.

1 Stuttgart, Frauenkopfstrae 3, Bundesrepublik Deutschland..


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: 20 2014 .
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