к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА

Глоссарий по физике

А   Б   В   Г   Д   Е   Ж   З   И   К   Л   М   Н   О   П   Р   С   Т   У   Ф   Х   Ц   Ч   Ш   Э   Ю   Я  

Автомодельность

Автомодельность - особая симметрия физической системы, состоящая в том, что изменение масштабов независимых переменных может быть скомпенсировано преобразованием подобия других динамических переменных. Автомодельность приводит к эффективному сокращению числа независимых переменных.

Например, если состояние системы характеризуется функцией и(х, t), где х - координата, t - время, то условие инвариантности относительно изменения масштабов x'-kx, t'=lt и преобразования подобия таково:

111991-234.jpg ,

где 111991-235.jpg - числа. Выбор 111991-236.jpg, где m - подобия критерий (параметр), придаёт первонач. функции автомодельный вид

111991-237.jpg.

Т. о., функция и при постоянном т зависит только от комбинации 111991-238.jpg. Автомодельность возможна, если набор параметров, определяющих состояние системы, не содержит характерных масштабов независимых переменных. Поскольку в большинстве задач форма преобразования подобия заранее неизвестна, автомодельную подстановку надо в каждом случае находить отдельно. Для этого имеются 3 способа:

1. Размерностей анализ .Состояние системы характеризуется набором размерных параметров и функций, зависящих от координат х, у, z и времени t. Если один из безразмерных критериев подобия имеет вид 111991-239.jpg , где b - параметр, имеющий размерность 111991-240.jpg , Х0, Т0 - характерные длина и промежуток времени, L, Т - единицы длины и времени соответственно, то в качестве автомодельных переменных можно выбрать безразмерные комбинации 111991-241.jpg ,111991-242.jpg, 111991-243.jpg . В том случае, когда имеется не более двух определяющих параметров с независимыми размерностями, отличными от длины и времени, переход к автомодельным переменным превращает ур-ние с частными производными в обыкновенное дифференц. ур-ние.

2. Непосредственный подбор. Формально вводится автомодельная замена переменных 111991-244.jpg или, в более общем виде, 111991-245.jpg, 111991-246.jpg. Ур-ния, начальные и граничные условия должны иметь структуру, допускающую такую замену. Решение существует не для любых значений 111991-247.jpg и не для любых функций 111991-248.jpg . Для получения подходящих значений необходимо решить нелинейную задачу на собств. значения.

3. Исследование групповых свойств ур-ний. Рассмотрим систему дифференц. ур-ний с частными производными 1-го порядка 111991-249.jpg =0, где 111991-250.jpg-независимые переменные, 111991-251.jpg-искомые функции,111991-252.jpg Всевозможные замены переменных 111991-253.jpg, допускаемые системой, образуют группу Ли. Автомодельные замены являются её однопараметрич. подгруппой растяжений. В нек-рых случаях найти такие замены позволяет след. процедура.

В пространстве переменных 111991-254.jpg группа Ли задаётся своими генераторами, имеющими общий вид X=111991-255.jpg, где111991-256.jpg-нек-рые функции переменных х, и; по повторяющимся индексам производится суммирование. В пространстве переменных111991-257.jpg группа Ли задаётся генераторами 111991-258.jpg, где

111991-259.jpg . Система ур-ний 111991-260.jpg определяет гиперповерхность в пространстве переменных 111991-261.jpg , к-рая является инвариантом группы при условии 111991-262.jpg, когда 111991-263.jpg; эти условия служат для определения функций111991-264.jpg и111991-265.jpg.

Комбинации переменных, дающие искомую замену, являются первыми интегралами ур-ния111991-266.jpg111991-267.jpg. Напр., для двух независимых переменных x, t и одной искомой функции и оператор растяжений имеет вид111991-268.jpg111991-269.jpg - числа. Набор первых интегралов ур-ния111991-270.jpg таков: 111991-271.jpg , поэтому автомодельное решение ур-ний, допускающих группу растяжений, будет иметь вид111991-272.jpg, 111991-273.jpg-новая искомая функция.

Рассмотрим, напр., Кортевега - де Фриса уравнение 111991-274.jpg , где 111991-275.jpg-пост. параметр; оно инвариантно относительно преобразования 111991-276.jpg , 111991-277.jpg . Генератор111991-278.jpg111991-279.jpg -оператор растяжений, и автомодельное решение имеет вид 111991-280.jpg

Подставляя это решение в исходное ур-ние, получаем обыкновенное дифференц. ур-ние для функции111991-281.jpg:

111991-282.jpg

Однопараметрич. группа растяжений абелева. Если система допускает решения, построенные на др. одно-параметрич. абелевых подгруппах, то подходящей заменой этим решениям можно придать автомодельный вид, что является следствием подобия этих групп. В частности, автомодельные движения тесно связаны с нелинейными бегущими волнами, т. е. решениями вида 111991-283.jpg , для к-рых место преобразования подобия занимает преобразование сдвига. Замена х=111991-284.jpg, 111991-285.jpg, 111991-286.jpg переводит волновое решение f в автомодельное:

111991-287.jpg

Автомодельность, отражающая внутр. симметрию, присуща многим явлениям и используется при решении разл. физ. задач, особенно в механике сплошных сред (см. Автомодельное течение).

Метод ренормализационной группы в квантовой теории поля, по существу, также основан на использовании автомодельного преобразования переменных. Интересно, что в автомодельных переменных ур-ние ренормгруппы оказывается тождественным одномерному ур-нию переноса излучения. В физике элементарных частиц автомодельность выражается в том, что сечения нек-рых процессов при высоких энергиях зависят лишь от безразмерных автомодельных комбинаций импульсов. Общие принципы квантовой теории поля допускают широкий класс таких автомодельных асимптотик.

'; ?>

Литература по автомодельности

  1. Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, 9 изд., М., 1981;
  2. Боголюбов Н. Н., IIIирков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984;
  3. Биркгоф Г., Гидродинамика, пер. с англ., М., 1963;
  4. Овсянников Л. В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., 1978;
  5. Арнольд В. И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1978, гл. 1;
  6. Баренблатт Г. И., Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика, 2 изд., Л., 1982.

В. Е. Рокотян.

к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ