к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА

Глоссарий по физике

А   Б   В   Г   Д   Е   Ж   З   И   К   Л   М   Н   О   П   Р   С   Т   У   Ф   Х   Ц   Ч   Ш   Э   Ю   Я  

Гамильтона - Якоби уравнение

Гамильтона - Якоби уравнение - дифференциальное ур-ние в частных производных 1-го порядка, описывающее движение голономных механич. систем под действием потенц. сил. Чтобы составить Г.- Я. у., необходимо для данной механич. системы знать Гамильтона функцию H(qi, pi, t), где qi и рi- - канонич. переменные: обобщённые координаты и обобщённые импульсы, a t - время. Тогда Г.- Я. у. будет иметь вид

1119920-399.jpg

где правая часть представляет собой выражение функции H, в к-ром все pi заменены на 1119920-400.jpg , a S - подлежащая определению функция координат qi и времени t, представляющая собой действие по Гамильтону; иногда функцию S (qi, t)наз. главной функцией Гамильтона.

В частном случае при движении одной материальной точки в силовом поле, определяемом силовой функцией U(x, у, z, t), Г.- Я. у. имеет вид

1119920-401.jpg ,

где т - масса точки, х, у, z - её координаты.

Г.- Я. у. непосредственно связано с Гамильтона уравнениями ,к-рые с матем. точки зрения являются для ур-ния (1) ур-ниями характеристик.

Чтобы с помощью Г.- Я. у. найти закон движения механич. системы, надо определить полный интеграл ур-ния (1), т. е. его решение, содержащее столько постоянных интегрирования, сколько в ур-нии независимых переменных. Этими переменными являются координаты qi и время t; число их равно s+1, где s - число степеней свободы системы. Следовательно, полный интеграл ур-ния (1) должен содержать s+l постоянную, из к-рых одна, как аддитивная, может быть отброшена, и имеет вид

1119920-402.jpg

Если решение Г.- Я. у. в виде (2) будет найдено, то, составив s равенств

1119920-403.jpg

где 1119920-404.jpg - новые произвольные постоянные, получим s алгебраических (недифференциальных) ур-ний, левые части к-рых содержат qi, 1119920-405.jpgи t и из к-рых можно определить qi в виде

1119920-406.jpg

Значения др. группы канонич. переменных рi находят из равенств1119920-407.jpg

Ур-ния (4), выражающие qi как функции t, и определяют положение механич. системы в любой момент времени, т. е. закон её движения. Входящие сюда постоянные 1119920-408.jpg и 1119920-409.jpg находят подстановкой начальных данных в равенства (4) и (5).

Если функция Гамильтона H явно не содержит время, что, в частности, имеет место для консервативных систем, то S можно искать в виде

1119920-410.jpg

где h - постоянная, равная полной энергии системы, a S0 - величина, наз. укороченным действием (действием по Лагранжу) или характеристич. функцией и определяемая как полный интеграл ур-ния в частных производных

1119920-411.jpg

в виде 1119920-412.jpg Тогда полный интеграл Г.- Я. у. будет 1119920-413.jpg и закон движения системы определится в соответствии с (3) из равенств

1119920-414.jpg

Ур-ния (7), содержащие в данном случае только qi, 1119920-415.jpg и не содержащие время t, определяют в многомерном пространстве траекторию точки, изображающей данную механич. систему, а ур-ние (8) даёт закон движения вдоль этой траектории. Значения постоянных 1119920-416.jpg определяются и в этом случае подстановкой начальных данных в равенстве (5), (7) и (8).

Г.- Я. у. и связанный с ним метод решения задач механики играют важную роль и в др. областях физики, особенно в оптике и квантовой механике. В частности, известное в геом. оптике ур-ние эйконала подобно Г--Я. у. в виде (6), где S0 играет роль эйконала. Этот результат позволяет рассматривать классич. механику как аналог геом. оптики, в к-ром роль поверхностей движущейся волны играют поверхности S0(qi)=const, а роль световых лучей - ортогональные к этим поверхностям траектории движения.

'; ?>

С. M. Торг

к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ