к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА

Глоссарий по физике

А   Б   В   Г   Д   Е   Ж   З   И   К   Л   М   Н   О   П   Р   С   Т   У   Ф   Х   Ц   Ч   Ш   Э   Ю   Я  

Метод максимального правдоподобия

Максимального правдоподобия метод - метод оценивания неизвестных параметров для распределения случайной величины c по наблюдению её реализаций при параметрич. анализе данных. M. п. м. был предложен P. Э. Фишером (R. A. Fisher) в 1912 и формулируется след, образом. Пусть плотность вероятности величины х есть3007-142.jpg где3007-143.jpg - вектор неизвестных параметров. Определим функцию правдоподобия выражением


3007-144.jpg


к-рое в отличие от плотности вероятности 3007-145.jpg рассматривают как функцию вектора а при заданном векторе c реализовавшихся значений3007-146.jpg. Оценкой M. п. м. паз. вектор 3007-147.jpg отвечающий максимуму выражения (1) и принадлежащий допустимой области значений3007-148.jpg Часто ищут максимум выражения 3007-149.jpg что упрощает задачу поиска3007-150.jpgдля экспоненциальных распределений. Идея M. п. м. заключается в том, что данная реализация вектора3007-151.jpg должна отвечать наиболее вероятному значению3007-152.jpg, а потому при заданном3007-153.jpg выражение 3007-154.jpg должно принимать макс, значение. Напр., время жизни г нестабильных частиц подчиняется распределению 3007-155.jpg где3007-156.jpg- неизвестный параметр, характерный для каждой частицы. Пусть измерены времена жизни3007-157.jpgдля N распадов. Если пренебречь ошибками измерений 3007-158.jpg то функция правдоподобия равна


3007-159.jpg


Оценка M. п. м.3007-160.jpgполучается из решения ур-ния правдоподобия


3007-161.jpg


и равна


3007-162.jpg

С M. п. м. связано неравенство Крамера - Рао: дисперсия D (а)оценки параметра а, полученной любым методом, удовлетворяет неравенству


3007-163.jpg


где


3007-164.jpg


наз. смещением оценки3007-165.jpg


3007-166.jpg


наз. кол-вом информации в3007-167.jpgо параметре а. В случае вектора параметров3007-168.jpgнеравенство (2) обобщается след, образом. Если ввести ср. значения3007-169.jpg

3007-170.jpg

ковариационную матрицу


3007-171.jpg


матрицу3007-172.jpgи информац. матрицу


3007-173.jpg


то справедливо неравенство

3007-174.jpg


где I -единичная матрица, т означает транспонирование. Если оценки 3007-175.jpgявляются несмещёнными, то для дисперсий3007-176.jpgкак это следует из (3), выполняется неравенство

3007-177.jpg


Неравенство Крамера - Рао полезно тем, что позволяет ещё на стадии планирования эксперимента оценить достижимую точность "измерения" параметров изучаемых распределений.

При нек-рых ограничениях на 3007-178.jpg можно показать, что оценка M. п. м. состоятельна, т. е. при 3007-179.jpg один из корней ур-ния правдоподобия, 3007-180.jpg стремится к точному значению а. Оценка M. п. м. асимптотически распределена по нормальному закону с нулевым ср. значением и дисперсией, равной 3007-181.jpg.

При конечных N оценка M. п. м., вообще говоря, является смещённой. Оптим. свойством оценки M. п. м. при конечных N оказывается то, что при нек-рых условиях3007-182.jpg достигает нижней границы, задаваемой неравенством Крамера - Рао (2). В общем случае свойства оценки M. п. м. можно изучить при помощи Монте-Карло метода: задавая значение a из области возможных значений, получают выборку 3008-1.jpg находят оценку3008-2.jpgи строят её среднее значение и ковариационную матрицу. Другое оптимальное свойство оценки M. п. м.: оценка3008-3.jpgфункции /(а) равна3008-4.jpg. В этом её преимущества перед оценкой по наименьших квадратов методу.

'; ?>

Литература по методу максимального правдоподобия

  1. Клепиков H. П., Соколов С. H., Анализ и планирование экспериментов методом максимума правдоподобия, M., 1964;
  2. Pао С. Р., Линейные статистические методы и их применения, пер. с англ., M., 1968;
  3. Кендал л M., Стьюарт А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., M., 1973;
  4. Статистические методы в экспериментальной физике, пер. с англ., M., 1976.

В. П. Жигунов

к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ